Вычисление определенного интеграла

1. Применение формулы Ньютона-Лейбница. Формула применяется во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функция F(x) для подынтегральной функции f(x).

Пример.

2. Интегрирование подстановкой (замена переменной).

Теорема. Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции была сделана подстановка х=φ(t), причем эта функция удовлетворяет следующим условиям: 1) функция х=φ(t) и ее производная х’=φ’(t) непрерывны при ; 2) отрезок является областью определения функции х=φ(t), а отрезок [a;b] является областью ее значений; 3) .

Тогда справедлива следующая формула:

Пример.

3. Интегрирование по частям.

Теорема. Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то имеет место формула:

Пример.

1)

2)

4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах.

Пусть задана функция непрерывная на отрезке [-a;a], симметричном относительно точки х=0. Тогда справедлива следующая формула:

Пример.

1) ; 2)

Лекция 11

Геометрические приложения определенного интеграла

11.1. Определение площадей плоских фигур

Площадь плоской фигуры, ограниченной непрерывной кривой, уравнение которой в прямоугольных координатах имеет вид y=f(x), осью Ох и двумя прямыми х=а и х=b (a<b) находится по формуле:

Отрезок [a;b] следует разделить на части, в каждой из которых функция f(x) сохраняет один и тот же знак. При этом следует соблюдать такое правило знаков: площади, находящиеся над осью Ох, берутся со знаком плюс, а площади, расположенные под осью Ох, со знаком минус.

Если площадь ограничена двумя непрерывными кривыми, уравнения которых в прямоугольных координатах , причем всюду на отрезке [a;b] и двумя прямыми х=а и х=b, то площадь определяется по формуле:

и в этом случае надо соблюдать указанное правило знаков.

Примеры.

Найти площадь, ограниченную осью Ох и параболами:

1)

Решение:

Найдем вершину параболы.

Найдем корни параболы:

Т.к. фигура находится под осью Ох, то перед определенным интегралом ставим знак минус при определении площади фигуры:

2)

Решение:

Найдем вершину параболы.

Найдем корни параболы:

Т.к. фигура находится под осью Ох, то перед определенным интегралом

ставим знак минус при определении площади фигуры:

Лекция 12

Несобственные интегралы