Основная теорема алгебры и следствия из нее.

Теорема 8 (основная теорема алгебры (ОТА)). Всякий многочлен , имеет хотя бы один комплексный корень.

Доказательство.Первые попытки доказательства этой теоремы были предприняты в XVII в. – Роте, Жираром, Декартом, далее в XVIII в. – Д’Аламбером, Эйлером, Лапласом, Лагранжем. Первое строгое доказательство было дано в 1799 г. К.Гауссом. Доказательство приведено, например, в учебнике Куроша [8].

Следствие 1. числа справедливо разложение

(4)

где − старший коэффициент − корни многочлена .

Доказательство. Пусть По теореме 8 корень многочлена . Тогда по теореме Безу справедливо представление где имеет степень и по ОТА имеет корень . В итоге получаем (4), где появление коэффициента обуславливается тем, что если вместо записать , то после раскрытия скобок получим слагаемое .■

Следствие 2. Разложение (4) для многочлена является единственным с точностью до порядка сомножителей.

Доказательство. Пусть существует и другое разложение

.

Тогда имеем равенство:

… = … .

Если бы корень был отличен от всех корней , то после подстановки слева получаем 0, а справа – нет корню соответствует некий корень и наоборот.

Отсюда еще не следует совпадение всех корней двух разложений. Может случиться, что среди корней , есть одинаковые. Пусть − корень кратности , а соответствующий корень − корень кратности . Нужно показать, что .

Пусть . Тогда сокращая на приходим к равенству, где слева есть множитель , а справа – нет. Как показано выше, это приводит к противоречию. ■

Объединяя одинаковые множители, разложение (4) перепишем в виде:

где − попарно различные корни.

Докажем, что число , , является кратностью корня . Действительно, если кратность равна , то . Пусть . Тогда в силу определения кратности . Заменяя здесь его разложением на линейные множители, получим разложение, отличное от (4) получим противоречие с единственностью разложения

Следствие 3. Каждый многочлен имеет корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Следствие 4. Число различных корней непостоянного многочлена не превосходит его степени.

Следствие 5. Если два многочлена принимают одинаковые значения при различных аргументах, то .

Доказательство.Пусть Рассмотрим многочлен . Имеем: имеет различных корней ||в силу следствия 4|| ■

Следствие 6. Для любых попарно различных и любых существует единственный многочлен

Доказательство. Если указанный многочлен существует, то, в силу следствия 5, он единственный. Такой многочлен имеет вид:

,

( )

где

( )

Из формулы (5) видно, что и так как

, то ■

Определение 8.Построенный многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа, а (5) – интерполяционной формулой Лагранжа.

Следствие 7 (формулы Виетта). Пусть и − корни , причем каждый корень выписан столько раз, какова его кратность

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем

Эти формулы называют формулами Виетта.

При , .

Если , ; ,