Доказательство.

Следует из теоремы 4 и леммы 4.

Из (3) общий делитель и должен делить 1 он является постоянной − взаимно просты. ■

Свойства (взаимно простых многочленов).

1) − взаимно прост c и − взаимно прост с

Доказательство. НОД умножая последнее равенство на . Если и − не взаимно просты делитель, который является делителем для − не взаимно просты. Это противоречие доказывает утверждение. ■

2) Если и НОД .

Доказательство. НОД умножим равенство на . Так как и . ■

3) Если НОД .

Доказательство. Так как , то умножая на , получаем .■

6º. Корни многочленов.

Определение 6. Число называется корнем , если .

Теорема 6 (теорема Безу). Пусть . Тогда .

Доказательство.Разделим на : , где const. Тогда

. ■

Замечание. Остаток от деления на равен .

Следствие. Число корней ненулевого многочлена не превосходит его степени.

Доказательствопо индукции по степени многочлена. Если , то const корней нет утверждение верно.

Пусть утверждение доказано для и пусть . Если у нет корней утверждение верно. Если − корень и . По предположению индукции число корней не больше . Корни − это корни и наоборот (число корней )=(число корней )+1 .■

Замечание. Таким образом, задача нахождения корней многочлена равносильна нахождению его нормальных делителей (то есть делителей степени 1).

Многочлен можно разделить на с остатком используя так называемую схему Горнера. Пусть имеет вид:

,

и пусть , где .

Приравнивая левую и правую часть, получаем:

, откуда при одинаковых степенях имеем:

Отсюда

Для практического использования схемы Горнера строят следующую таблицу:

Напомним, что .

Пример. Пусть . Найти . Воспользуемся схемой Горнера, которая в данном случае представляется в виде следующей таблицы:

			-4		-8
			-4+4=0		-8+12=4

Пусть – корень многочлена то есть и значит, по теореме Безу, Может оказаться, что и

Определение 7. Наибольшее называется кратностью корня многочлена . Такой корень называется -кратным корнем Если , то корень называется простым.

Замечание 1. Если – корень кратности для многочлена , то и то есть . Наоборот, если и то – корень кратности многочлена Для доказательства этого предположим, что противоречие.

Замечание 2. считается корнем нулевого многочлена.

Теорема 7.Если является -кратным корнем многочлена , то при >1 число будет ( -1)-кратным корнем производной Если =1, то не является корнем

Доказательство.Пусть − -кратный корень многочлена Тогда , где , то есть Дифференцируя это представление по , имеем: , то есть . Так как

не делит Так как частное от деления определяется однозначно, то является наибольшей степенью , которая делит ■

Следствие.Если – -кратный корень , то – -кратный корень для .