Постановка игровых задач.

Основными вопросами теории игр являются:

1. Какие свойства стратегий следует считать признаками оптимальности.

2. Существуют ли стратегии игроков, которые обладали бы свойствами оптимальности.

3. Как определить оптимальные стратегии, если они существуют.

Пример

Рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой. Пусть игра состоит из двух ходов. Игрок 1 выбирает стратегию , игрок 2 – стратегию ; выигрыш соответственно и .

Игра каждого из игроков удовлетворяет условиям:

=0. Если

Пусть функция .

Составим матрицу А:

Строки матрицы А соответствуют стратегии , столбцы- стратегии . Матрица А называется платёжной или матрицейигры.

Элемент платёжной матрицы А является выигрышемигрока1, если он выбрал стратегию , а второй игрок выбрал стратегию . Эти стратегии называются чистымистратегиями игроков.

Пусть игрок 1 выбирает некую стратегию (игроку 2 известен выбор), тогда в худшем случае он получит выигрыш, равный минимуму , то есть минимальному элементу в i-ой строке платежной матрицы А.

Величина называется нижнейценойигры, которая обеспечивает максимальный выигрыш игрока 1, а стратегия , которая обеспечивает получение такого выигрыша, называется максимальной.

Игрок 2 при выборе стратегии проигрывает не более максимального значения из элементов k-го столбца, то есть величина проигрыша не больше максимума . Игрок 2 выбирает такую величину, которая минимизирует максимальный проигрыш.

Величина β называется верхнейценойигры, а стратегия – минимаксной.

Пусть выигрыш игрока 1 будет V, тогда его значение ограничено верхней и нижней ценами игры:

Если же совпадают, то выигрыш игрока 1 составляет определённую величину, игра называется вполне определённой.

А выигрыш называется значением игры и равен элементу . Вполне определённые игры называются также играми с седловой точкой или играми в чистых стратегиях.

Элемент в платёжной матрице А является одновременно минимальным в строке и максимальным в столбце и называется седловойточкой.

Седловой точке соответствуют оптимальные стратегии игроков, а их совокупность является решениемигры. Решение игры показывает, что если один из игроков принимает свою оптимальную стратегию, то для другого игрока отклонение от оптимальной стратегии не является выгодным.