Условный экстремум функции нескольких переменных

Представим, что мы решаем задачу нахождения наибольшего и наименьшего значений функции не внутри треугольной области, как в предыдущем параграфе, а в области . После нахождения критических точек внутри круга мы должны найти наибольшие и наименьшие значения на границе – кривой . Если решать задачу по аналогии с предыдущим решением, очевидно, что после выражения одной из переменных через другую в уравнении границы и подстановки в выражение исходной функции мы получим довольно сложное представление исходной функции на граничной окружности: . Более того, граничная кривая может иметь такое уравнение, из которого невозможно явно выразить одну переменную через другую.

Задачи нахождения наибольших и наименьших значений функции при выполнении условий относительно переменных называются задачами нахождения условных экстремумов. В приведенном примере условием является равенство .

Лагранжем был разработан метод решения таких задач. Итак, пусть нужно найти наибольшие и наименьшие значения функции при выполнении условия . Для этого следует построить новую функцию, называемую функцией Лагранжа

.

Число переменных функции Лагранжа на 1 больше, чем число переменных исходной функции благодаря введению параметра . Далее ищутся критические точки функции из системы

Среди полученных критических точек будут точки, дающие условные экстремумы.

П р и м е р.Найти условныеэкстремумы функции при условии . Рассмотрим функцию Лагранжа и найдем ее критические точки из системы

Рассмотрим одновременно два первых уравнения системы в виде

Если решать эту систему относительно переменных и , то, применяя правило Крамера, получим следующее: если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение . Однако это решение противоречит третьему уравнению исходной системы. Поэтому единственная возможность получить ненулевые решения системы из двух первых уравнений – это приравнять главный определитель системы из двух уравнений нулю: . Следовательно, – корень квадратного уравнения . Решив это уравнение, получим два значения: и .

При система из первых двух уравнений превращается в одно соотношение . Подставляя это соотношение в третье уравнение, получим критические точки . Значение исходной функции в этих точках: .

При система из первых двух уравнений превращается в соотношение . Подставляя это соотношение в третье уравнение, получим критические точки . Значение исходной функции в этих точках: .

Таким образом, условным минимумом исходной функции является значение -50, условным максимумом является значение .

Задачи условного экстремума могут решаться и при нескольких условиях.

Пусть нужно найти наибольшие и наименьшие значения функции при выполнении условий и . В таком случае число переменных функции Лагранжа увеличивается на 1, и функция Лагранжа будет иметь вид

. Дальше, как и в предыдущем случае, ищутся критические точки функции Лагранжа, которые являются точками условного экстремума исходной функции.