Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области.

Хотелось бы заметить, что в предыдущих задачах был один общий принцип: не использовать ничего, кроме того, что нам дано по условию. У люка нам предлагали изменить лишь его форму, чтобы добавить ему ещё одно важное свойство. С дорогой мы проделали операцию в тот момент, когда клали асфальт, что привело снова к дополнительному свойству объекта.

Чтобы более полно объяснить вышесказанное разберём следующую реально вставшую задачу:

Авиационный высотометр (альтиметр) работает, измеряя падение давления с высотой. В сущности, это обычный барометр, но шкала градуирована в единицах длины (высоты). Высотометр имеет две круговые шкалы; большая шкала показывает метры, малая - километры. Пилоты часто путали шкалы. Поэтому инженеры - психологи решили установить новый высотометр, на циферблате которого километры показывались бы на горизонтальной шкале, а метры - на круговой. Инженеры с задачей справились, но в результате получился сложный механизм с множеством шестерёнок и колёсиков. Трение в них было столь велико, что точность нового прибора оказалась сведённой на нет. Все попытки уменьшить число шестерёнок ничего не дали. Позже её решил человек, мало знакомый с такого рода задач...

Для того, чтобы решить данную задачу необходимо представить сам процесс, происходящий в этот момент с показателями: в зависимости от высоты пружинка, которая отвечает за отклонение стрелки, вращается в одной и той же плоскости. Если зафиксировать какую-либо точку на пружинке, отвечающей за показания, то когда пружинка вращается, эта точка описывает прямую, что и требуется для конструкции этого прибора.

Основной общий принцип, которым следует руководствоваться звучит примерно следующим образом:

Технический объект идеален, если его нет, а функция выполняется.

Идеальный объект заведомо лучше любых других объектов - он ничего не стоит, абсолютно надёжен (не может сломаться), не создаёт никаких вредных побочных эффектов (шум к примеру), не требует ухода и так далее.

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области.

Так же, как в случае функции одной переменной, заданной на отрезке, функция двух переменных, заданная в замкнутой области, достигает своих наибольшего и наименьшего значений либо в критических точках, лежащих в заданной области, либо в граничных точках области. Трудность этого случая в том, что у области на плоскости, имеется бесконечное множество граничных точек.

П р и м е р. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в треугольнике, образованном прямыми .

Прежде всего, найдем критические точки заданной функции, решив систему

Данная система имеет единственное решение, и мы получаем критическую точку (1,0). Эта точка лежит внутри заданной области, поэтому мы вычисляем в этой точке значение функции: .

Теперь переходим к граничным точкам. Заданная область имеет 3 прямолинейных граничных участка: 1) , 2) ,

3) .

На участке 1) . Функция на отрезке

[-2,2] принимает наибольшее значение, равное 6, в точке 2 (конец отрезка), и наименьшее значение, равное -1/4, в критической точке -1/2.

На участке 2) ,

. Функция принимает на отрезке [0,2] наибольшее значение, равное 2, в точке 0 (конец отрезка), и наименьшее значение, равное -1/4, в критической точке 3/2. На участке 3) , . Функция принимает на отрезке [0,2] наибольшее значение, равное 6, в точке 0 (конец отрезка), и наименьшее значение, равное -3/4, в критической точке 3/2.

Получив значения в критической точке и наибольшие и наименьшие значения на отрезках границы (-1, 6, -1/4, 2, -3/4), мы выбираем среди них наибольшее и наименьшее. Это значения 6 (наибольшее значение данной функции в заданном треугольнике) и -1 (наименьшее значение данной функции в заданном треугольнике). Трехмерное изображение соответствующей поверхности выглядит следующим образом.

Нетрудно заметить, что наибольшие трудности в вопросах выявления наибольших и наименьших значений в области связаны с проблемами нахождения соответствующих значений на участках границы области.