Процесс гибели и размножения

Разновидностью марковского процесса с дискретными состояниями S₀,S₁,S₂,…,S_n является процесс гибели и размножения, - если все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из промежуточных (средних) состояний (S₁,S₂,…,S_n-1) может переходить только в соседние (смежные) состояния, которые, в свою очередь, переходят обратно, а крайние состояния (S₀иS_n) переходят только в соседние состояния (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Граф состояний для процесса гибели и размножения

Название процесса взято из биологических моделей, где состояние популяции S_kозначает наличие в популяции k единиц особей. Переход вправо связан с размножением особей, а влево - с их гибелью, то есть, из рис. 4.2:

· λ₀(t),λ₁(t),λ₂(t),…,λ_n-1(t) - интенсивности размножения;

· μ₁(t),μ₂(t),μ₃(t),…,μ_n(t) - интенсивности гибели.

Примечание. У λ и μ индекс того состояния, из которого стрелка выходит.

Предельные (финальные) вероятности состояний для простейшего процесса гибели и размножения (когда процесс перешел в стационарный режим) определяются по следующим формулам:

P₀= {1 +(λ₀/μ₁) + [(λ₀∙λ₁)/( μ₁∙μ₂)] +…+ [(λ₀∙λ₁∙…∙λ_n-1)/( μ₁∙μ₂∙…∙ μ_n)]},^-1

P_k=P₀∙(λ₀∙λ₁∙…∙λ_k-1)/(μ₁∙μ₂∙…∙ μ_k),k= 1, 2,…, n.

Правило: "вероятность k-го состояния в процессе гибели и размножения равна дроби, в числителе которой стоит произведение всех интенсивностей размножения, стоящих левее S_k, а в знаменателе - произведение всех интенсивностей гибели, стоящих левее S_k, умноженной на вероятность крайнего левого состояния системы P₀".

Для простейшего процесса гибели и размножения (когда он перешел в стационарный режим) в тех случаях, когда интенсивности размножения и гибели постоянны формулы для финальных вероятностей упрощаются

P₀=e,^{-(λ / μ)}

P_k= {[(λ/μ)^k] / k!} ∙ e ^-(λ/μ).

Примечание. Данные формулы корректны для случая, когда отсутствует ограничение на k. При наличии ограничения k≤n формулы для финальных вероятностей выглядят следующим образом:

P₀=e^-α / [∑α^k∙e^-(α/k!) ], где α= λ/μ;

P_k=P₀∙(α/k!), гдеk= 0, 1, 2,…, n.

В практике встречаются процессы чистого размножения (в них интенсивности всех потоков гибели равны нулю) и процессы чистой гибели (в них интенсивности всех потоков размножения равны нулю).