Наиболее удобным основанием логарифма служит число е.
Определение 4. Логарифм числа
по основанию е обознается
и называется натуральным логарифмом, т. е.
.
Например,
, 
Теорема 3 (производная натурального логарифма). 
Доказательство:
Запишем закон сокращения
и продифференцируем обе части по х. Получаем:
, откуда 
Следствие. 
Пример 3. Найти 
Решение:
Пример 4. Продифференцировать функцию
.
Решение:
Пример 5. Найди производную 
Решение: 
Теорема 4 (производная логарифма модуля).
при 
Доказательство: По определению модулю имеем
Если
, имеем
. Если же
, получается тот же результат: 
7. Производные общих логарифмических и показательных функций
Теорема 5 (производная общей логарифмической функции).

Доказательство:

Теорема 6 (производная общей показательной функции).

Доказательство:

Заметим, что формула справедлива и при а = 1.