Наиболее удобным основанием логарифма служит число е.
Определение 4. Логарифм числа 
по основанию е обознается 
и называется натуральным логарифмом, т. е. 
.
Например, 
, 
Теорема 3 (производная натурального логарифма). 
Доказательство:
Запишем закон сокращения 
и продифференцируем обе части по х. Получаем: 
, откуда 
Следствие. 
Пример 3. Найти 
Решение: 
Пример 4. Продифференцировать функцию 
.
Решение: 
Пример 5. Найди производную 
Решение: 
Теорема 4 (производная логарифма модуля).
при 
Доказательство: По определению модулю имеем
Если , имеем 
. Если же 
, получается тот же результат: 
7. Производные общих логарифмических и показательных функций
Теорема 5 (производная общей логарифмической функции).
Доказательство:
Теорема 6 (производная общей показательной функции).
Доказательство:
Заметим, что формула справедлива и при а = 1.
