Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
(1)
или подробнее
(2)
(3)
Существует две группы численных методов решения задачи Коши: многошаговые разностные методы и методы Рунге-Кутта. Приведем примеры и поясним основные понятия, возникающие при использовании численных методов. Для простоты будем рассматривать одно уравнение
. (4)
Введем по переменному t равномерную сетку с шагом t>0, т.е рассмотрим множество точек
.
Будем обозначать через u(t) точное решение задачи (4), а через yn=y(tn) – приближенное решение. Заметим, что приближенное решение является сеточной функцией, т.е. определено только в точках сетки .
Пример 1. Метод Эйлера. Уравнение (4) заменяется разностным уравнением
. (5)
Решение этого уравнения находится явным образом по рекуррентной формуле
Пример 2. Симметричная схема. Уравнение (4) заменяется разностным уравнением
. (6)
Данный метод более сложен в реализации, чем метод Эйлера (5), так как новое решение yn+1 определяется по найденному ранее yn путем решения уравнения
,
где . По этой причине метод называется неявным. Преимуществом метода (7) по сравнению с методом (5) является более высокий порядок точности.
Приведенные примеры представляют собой простейшие случаи разностных методов. Методы Рунге-Кутта отличаются от разностных методов тем, что в них допускается вычисление правых частей f(t,u) не только в точках сетки, но и в некоторых промежуточных точках.
Пример 3. Метод Рунге-Кутта второго порядка точности. Предположим, что известно приближенное значение yn решения исходной задачи в момент t=tn. Для нахождения yn+1 = y(tn+1) поступим следующим образом. Сначала, используя схему Эйлера
,
Вычислим промежуточное значение , а затем воспользуемся разностным уравнением
,
из которого явным образом найдем искомое значение .
Реализация метода в виде двух этапов (8), (9) называется метод предиктор-корректор (предсказывающее-исправляющим), т.к. на первом этапе (8) приближенное значение предсказывается с невысокой точностью О( ), а на втором этапе (9) точность имеет второй порядок по .
В качестве примера рассмотрим линейное дифференциальное уравнение:
.
Это уравнение имеет точное решение .
Код для реализации метода Эйлера показан в листинге
Листинг 15.5. Решение уравнения методом Эйлера
a = 0; b = 2; m = 50;
dx = (b - a) / m;
x = 0, y = 1;
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
y += dx*F(x,y);
x += dx;
g.DrawEllipse(Pens.Black, II(x) - 2,
JJ(y) - 2, 4, 4);
}
Для симметричной схемы уравнение (6) принимает вид:
и его удается решить явно:
.
Код для решения уравнения по симметричной схеме представлен ниже:
Листинг 15.6. Решение уравнения по симметричной схеме
a = 0; b = 2; m = 50; dx=(b-a)/m; x = 0; y = 1;
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
y = (y+dx/2*F(x,y))/(1-(x+dx)*dx/2);
x += dx;
g.FillEllipse(myBrush,II(x)-3, JJ(y)-3,6,6);
}
В следующем листинге 15.7 представлен код для реализации метода Рунге-Кутта:
Листинг 15.7. Решение уравнения методом Рунге-Кутта
a = 0; b = 2; m = 50;
dx = (b - a) / m;
x = 0; y = 1; yt = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
yt = y + dx / 2 * F6(x, y);
y = y + dx / 2 * F6(x + dx / 2, yt);
x += dx;
g.FillEllipse(myBrush,II(x)-2,JJ(y) - 2, 4, 4);
}
На рис. 15.6 на интервале [0,2] представлено точное решение (сплошная линия), приближенное решение по методу Эйлера (маленькие черные точки), по симметричной схеме (большие черные точки) и методом Рунге-Кутта (белые точки).
Рис. 15.6. Сравнение точного и приближенных решений линейного уравнения
Из рис. 15.6 видно, что метод приближенного решения по симметричной схеме дает более точное решение.
Лекция 22. Стратегия.
Цели организации и ее стратегия. Определения стратегии. Классификация стратегий. Организация деятельности по разработке и реализации стратегий.
СТРАТЕГИЯ
Стратегия (греч. strategos – «искусство генерала»). В китайском языке «стратегия» трактуется как «стратегема» - действие полководца с использованием некоторой хитрости, обмана противника. То есть, в основе одного из ключевых понятий менеджмента лежит военный термин. Почему? Потому, что первоначально менеджмент строился по образу и подобию управления войсками. И до сих пор у многих практикующих менеджеров на ментальном уровне преобладают метафоры и аналогии из армейской действительности: приказ, команда, стратегия, тактика, операция, дивизион и т.п. И все-таки, попробуем перейти на «мирные рельсы».
Нормативного определения стратегии нет.
Дадим разнообразие определений стратегии.
А. Чандлер:
Стратегия – определение основных долгосрочных целей и задач предприятия и утверждение курса действий, распределение ресурсов, необходимых для достижения этих целей.
И. Ансофф:
Стратегия - как набор правил для принятия решений, которыми организация руководствуется в своей деятельности
Р. Кох:
1. Стратегия – логика бизнеса, определяющая, за счет чего компания может получить конкурентные преимущества и завоевать себе «место под солнцем».
2. Стратегия – реальные действия компании, ее методы ведения производственной деятельности и борьбы с конкурентами
Р. Дафт:
Основополагающая стратегия – общий план основных действий, за счет которых фирма собирается достичь своих долгосрочных целей
М. Мескон, М. Альберт, Ф. Хедоури(МАХ):
Стратегия – детальный всесторонний комплексный план, предназначенный для того, чтобы обеспечить осуществление миссии организации и достижение ее целей
Г.Минцберг:
Структура стратегии по Г. Минцбергу включает пять элементов (Стратегия «5 Р». Минцберг Г. Стратегический процесс / Г. Минцберг, Дж. Б. Куинн, С. Гошал. – СПб.: Питер, 2001 ):
· План (plan). Сознательно разработанная последовательность действий для конкретной ситуации
· Образец, модель, шаблон (pattern). В данном случае стратегия - это принцип поведения организации или следование в ее поведении некоторой модели, образцу, шаблону.
· Позиция (position). Поиск наиболее выгодной позиции организации на рынке
· Перспектива (perspective). Стратегия рассматривается как видение мира, разделяемое членами организации.
· Отвлекающий маневр, хитрость (ploy). Та самая хитрость, которая идет от китайской стратегемы и используется для победы над кокурентами в конкретной ситуации.
Г. Минцберг рассматривает стратегию не как план, а как совокупность различных видов деятельности, которые включают в себя наблюдение за происходящими внутри и вне организации событиями. То есть в стратегическом смысле действия важнее, чем намерения.
А.Н. Петров:
Стратегия – видение руководством будущего развития социально-экономической системы с принципиальным пониманием того, за счет чего это будущее будет достигнуто.
А.Н. Цветков:
Стратегия – генеральная программа действий организации, отражающая логику ее развития
Стратегия является результатом выполнения функции целеполагания.
Разработка стратегии организации сопровождается стратегическим анализом. Известны следующие виды стратегического анализа:
1. SWOT (strengths, weaknesses, opportunities, threats) – анализ (по-русски ССВУ-анализ)– качественный анализ внешней и внутренней сред компании, в результате которого выявляются сильные и слабые стороны (внутренняя среда), потенциальные угрозы и возможности для компании (внешняя среда),
2. PEST-анализ (политические, экономические, социальные, технологические группы факторов) –анализ внешней среды косвенного воздействия или дальнего окружения.
(1)
(2)
(3)
. (4)
.
.
. (5)
. (6)
,
. По этой причине метод называется неявным. Преимуществом метода (7) по сравнению с методом (5) является более высокий порядок точности.
,
, а затем воспользуемся разностным уравнением
,
.
), а на втором этапе (9) точность имеет второй порядок по 
.
.
.