Приближенное вычисление интегралов

Рассмотрим способы приближенного вычисления определенных интегралов

(1)

основанном на замене интеграла конечной суммой

где ck – числовые коэффициенты и xk – точки отрезка [a,b], k=0,1,…,n. Приближенное равенство

(2)

называется квадратурной формулой, а сумма вида (2) – квадратурной суммой. Точки x_k называются узлами квадратурной формулы, а числа c_k - коэффициентами квадратурной формулы.

Введем на [a,b] равномерную сетку с шагом h, т.е. множество точек

,

и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

(3)

Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке [a,b] достаточно построить квадратурную формулу для интеграла

(4)

На частичном отрезке [x_i-1,x_i] и воспользоваться свойством (3).

Рис. 15.2. Геометрический смысл формулы прямоугольников

Формула прямоугольников. Заменим интеграл (4) выражением f(x_i-1/2)h, где x_i-1/2=x_i-h/2. Геометрически такая замена означает, что площадь криволинейной трапеции ABCD заменяется площадью прямоугольника ABC’D’ (рис. 6). Тогда получаем формулу

(5)

которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке [x_i-1,x_i].

Рис. 15.3. Вычисление интеграла по формуле прямоугольников

Суммируя равенства (5) по I от 1 до N, получаем составную формулу прямоугольников

(6)

Формула трапеций. На частичном отрезке эта формула имеет вид

(7)

И получается путем замены подынтегральной функции f(x) интерполяционным многочленом первой степени, построенным по узлам xi-1,xi, то есть функцией

Рис. 15.4. Вычисление интеграла по формуле трапеций

Составная формула трапеций имеет вид

(8)

где .

Формула Симпсона. При аппроксимации интеграла (4) заменим функцию f(x) параболой, проходящей через точки (x_j,f(x_j)), j=i-1,i-0,5,i, т.е. представим приближенно f(x) в виде

Где - интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени,

(9)

Проводя интегрирование, получим

Таким образом, приходим к приближенному равенству

,

которое называется формулой Симпсона или формулой парабол.

Рис. 15.5. Вычисление интеграла по формулам Симпсона

На всем отрезке [a,b] формула Симпсона имеет вид

.

Чтобы не использовать дробных индексов, можно обозначить

и записать формулу Симпсона в виде

. (10)

Все три приближенные способа представлены процедурами MethodRectangle(), MethodTrapezes() и MethodSimpson() в следующем листинге:

Листинг 15.4. Приближенное вычисление интеграла

static float F(float x)

{

return 3 * x * x;

}

static float F1(float x)

{

return x * x * x;

}

static float MethodRectangle(float a, float b)

{

int n = 200;

float dx = (b - a) / n;

float result = 0;

for (int i = 1; i <= n; i++)

result += dx * F(a+i*dx);

return result;

}

static float MethodTrapezes(float a, float b)

{

int n = 200;

float dx = (b - a) / n;

float result = (F(a)+F(b))*dx/2;

for (int i = 1+1; i <= n-1; i++)

result += dx * F(a + i * dx);

return result;

}

static float MethodSimpson(float a, float b)

{

int n = 200;

float dx = (b - a) / n;

int[] k = new int[] { 2, 4 };

float result = (F(a) + F(b)) * dx / 3;

for (int i = 1 + 1; i <= n - 1; i++)

result += k[i % 2]*dx*F(a + i * dx)/3;

return result;

}

static void Main(string[] args)

{

float a = 0;

float b = 1;

Console.WriteLine("Точное={0}",F1(b)-F1(a));

float s = MethodRectangle(a, b);

Console.WriteLine("Метод прямоугольников");

Console.WriteLine("s = {0}", s);

Console.WriteLine("");

s = MethodTrapezes(a, b);

Console.WriteLine("Метод трапеций");

Console.WriteLine("s = {0}", s);

Console.WriteLine("");

s = MethodSimpson(a, b);

Console.WriteLine("Метод Симпсона");

Console.WriteLine("s = {0}", s);

Console.WriteLine("");

Console.ReadKey();

}

В качестве примера рассмотрим определенный интеграл:

.

Полученные результаты показывают следующее: