Степенные функции с одинаковыми степенями частных функций

Рассмотрим случай, когда частные функции являются степенными функциями, причем степени частных функций в целевой функции и функции-ограничения одинаковы, но между функциями - различны. Пусть , , , , . Легко проверить, что и , ,являются выпуклыми функциямив области , в которой и ищется решение. Тогда

/ = = = .

Отсюда

.

Подставляя это выражение в (3) п. 2, получаем

( ) ( ) = .

Тогда

= ( ( ) )

и оптимальное значение равно

= ( ( ) ) .

Тем самым решение оптимальной задачи найдено и это решение в силу.

Рассмотрим двойственную задачу. Пусть , , , , . Решение ищем в области Тогда

/ = = / = .

Отсюда

.

Подставляя это выражение в (3) п. 2, получаем

( ) ( ) = .

Тогда

= ( ( ) )

и оптимальное значение равно

= ( ( ) ) .

Степенные функции с разными степенями частных функций и одинаковым отношением степени частных функций в функции-ограничении к разнице степеней между частными функциями в целевой функции и функции ограничении

Рассмотрим теперь случай, когда частные функции являются степенными функциями, причем степени частных функций в целевой функции и функции-ограничении различны, но отношения степени частных функций в функции-ограничения к разнице степеней между соответствующими частными функциями в целевой функции и функции-ограничения - одинаковы. Пусть , , , , , . Решение ищем в области Тогда

/ = = = . (1)

Отсюда

. (2)

Подставляя это выражение в (3) п. 2, получаем

( ) = . (3)

Из (3) получаем

= ( ( )

или

= ( ( ( ) . (4)

Подставляя (4) в (2), находим оптимальные значения

( ( ( ) . (5)

Тем самым решение оптимальной задачи найдено.

Рассмотрим двойственную задачу. Пусть , , , , , . Решение ищем в области Тогда

/ = / = / = . (6)

Отсюда

. (7)

Подставляя это выражение в (3) п. 2, получаем

( ) = . (8)

Из (8) получаем

= ( ( )

или

= ( ( ( ) . (9)

Подставляя (9) в (7), находим оптимальные значения

( ( ( ) . (10)

Тем самым решение двойственной оптимальной задачи найдено.

Степенные функции с разными степенями частных функций и одинаковым отношением степени частных функций в функции-ограничении к разнице степеней между частными функциями в целевой функции и функции-ограничении

Рассмотрим теперь случай, когда частные функции являются степенными функциями, причем степени частных функций в целевой функции и функции-ограничении различны, но отношения степени частных функций в функции-ограничения к разнице степеней между соответствующими частными функциями в целевой функции и функции-ограничения - одинаковы. Пусть , , , , , . Решение ищем в области Тогда

/ = = = . (1)

Отсюда

. (2)

Подставляя это выражение в (3) п. 2, получаем

( ) = . (3)

Из (3) получаем

= ( ( )

или

= ( ( ( ) . (4)

Подставляя (4) в (2), находим оптимальные значения

( ( ( ) . (5)

Тем самым решение оптимальной задачи найдено.

Рассмотрим двойственную задачу. Пусть , , , , , . Решение ищем в области Тогда

/ = / = / = . (6)

Отсюда

. (7)

Подставляя это выражение в (3) п. 2, получаем

( ) = . (8)

Из (8) получаем

= ( ( )

или

= ( ( ( ) . (9)

Подставляя (9) в (7), находим оптимальные значения

( ( ( ) . (10)

Тем самым решение двойственной оптимальной задачи найдено.

4. Квадратичная форма и линейные частные функции

Представляет непосредственный интерес рассмотреть случай, когда в качестве целевой функции выступает квадратичная форма с неотрицательными коэффициентами, а частные функции в функции-ограничения являются линейными. Пусть , - , , , , . Решение ищем в области

Составляем функцию Лагранжа , которая в данном случае имеет следующий вид

= - = - . (1)

Из (1) имеем

= - = 0, , (2)

= . (3)

Выражение (2) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных , . Она решается обычным способом, например, методом Крамера через определители, а именно, пусть

есть определитель системы уравнений (2), - определитель , в котором вместо - го столбца стоит столбец свободных членов . Тогда

, . (4)

Подставляя (4) в (3), получаем = . Отсюда равно

= ( . (5)

Подставляя (5) в (4), находим оптимальные значения , ,

( , . (6)

Для того чтобы точка экстремума находилась в области необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства , . Для того чтобы точка экстремума доставляла минимум целевой функции необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы Гессе был неотрицателен, т.е.

. (7)

Рассмотрим двойственную задачу. Пусть , - , , , , . Решение ищем в области

Составляем функцию Лагранжа , которая в данном случае имеет следующий вид

= - = - ( ). (8)

Из (8) имеем

= - ( ) = 0, , (9)

= . (10)

Из (9) получаем

= , . (11)

Выражение (11) также представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных , . Она решается обычным способом, например, через определители, а именно, пусть есть определитель системы уравнений (11), - определитель , в котором вместо - го столбца стоит столбец свободных членов . Тогда

, . (12)

Подставляя (12) в (10), получаем

( ) = . (13)

Из (13) находим ( т.к. должно быть больше 0, то берем положительный корень уравнения (13)

= ( . (14)

Подставляя (14) в (2), находим оптимальные значения , ,

( , . (15)

Для того чтобы точка экстремума находилась в области необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства , . Для того чтобы точка экстремума доставляла минимум целевой функции необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы Гессе был неотрицателен, а он равен нулю, т.е. решение дает минимум целевой функции.