Тема 6. Нелинейная регрессия

Различают два класса нелинейной регрессии:

Класс I : Регрессия нелинейная, относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейная по оцениваемым параметрам.

Сюда входят: А) полиномы всех степеней

Б) равносторонние гиперболы

Класс II : Регрессия нелинейная по оцениваемым параметрам.

Сюда входят: А) степенная функция

Б) показательная функция

В) экспоненциальная функция

Г) другие функции

Модели I класса

Цель при анализе моделей: определить параметры функции, тесноту связи и надежность.

Для этого класса можно использовать МНК.

1) Полином: √ второй степени

Процесс превращения нелинейных функций в линейный вид называется линеализацией.

√ k-той степени

Параметры а, b, c,…, k можно определить МНК. Таким образом, полином любого порядка сводится к линейной регрессии.

Интерпретация параметров и использование в практике параболы

Парабола имеет следующий вид: у параболы существует точка перегиба. Это означает, что определенного предела функция ведет себя как возрастающая, а потом начинает убывать (наоборот).

На практике перечень таких явлений ограничен. Поэтому, во-первых, для выравнивания используют не всю параболу, а какой-либо её сегмент. Здесь надо помнить, что существует точка перегиба, после которой прогноз будет невозможен. Во-вторых, заменяют параболу на степенную функцию.

Система нормальных уравнений для определения параметров параболы

2) Равносторонняя гипербола

Система нормальных уравнений для определения параметров равносторонней гиперболы

Интерпретация уравнения:

- если b > 0 , х → => у → а - если b < 0 , х → => у → а

функция убывает функция возрастает

Все другие модели, которые приводятся к линейному виду путем замены переменных на соответствующие линейные.

Модели второго класса

1) Внутренне-линейные модели

Могут быть приведены к линейному виду путем логарифмирования или других преобразований.

а) Степенная функция

Решаем уравнение, применяя МНК.

После нахождения параметров a' и b проводим потенцирование и возвращаем уравнение к исходному виду.

б) экспоненциальная функция

К этому уравнению применим МНК.

2) Внутренне-нелинейные модели

Не могут быть приведены к линейному виду.

Для оценки их параметров используют метод подбора, т.к. нельзя использовать МНК.

Таким образом, в эконометрике к линейным моделям относят:

1. Модели, линейные по переменным и параметрам (например, у = а + вх)

2. Модели, так или иначе, сводимые к линейным, т.е. нелинейные внешне, но линейные внутренне.