Экстремум функции (исследование функции на экстремум)

Определение.Точка x₀называется точкой максимума (минимума) функции y = f (x), если существует δ − окрестность точки x₀, такая, что для всех x ≠ x₀ из этой окрестности выполняется неравенствоf (x)< f (x₀),

(f (x)< f (x₀)).

Определение.Значение функции в точках максимума (минимума) называют экстремумами функции (extmax, extmin).

Рис. 3

Рис. 4

Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция у = f(х) в точке имеет экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю, то есть

Теорема (достаточное условие экстремума). Если функция у = f (х) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки (кроме, быть может, самой точки ) и при переходе аргументаx через нее слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то ‒ точка максимума; если меняет знак с минуса на плюс, то ‒ точка минимума.

Определение. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками функции.

Пример.Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

Решение:

1) D (y) = R, то есть .

2)

Эти критические точки разбивают всю область определения функции на интервалы: (˗∞; 0), (0; 1) и (1; +∞). Полученные результаты удобно представить в виде следующей таблицы:

x	(˗∞; 0),		(0;1)		(1;+∞)
	˗		˗		+
y		нет экстр.		min

Из таблицы видно, что в точке х = 0 нет экстремума, а х = 1 ‒ точка минимума. Минимум этой функции равен:

Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной.

3) y(0) = 5, (0; 5) ˗ точка пересечения с OY.