Открытая СеМО с последовательный обслуживанием

Если g>0 и 0£р<1 то сеть, изображенная на рис.2.5, представляет собой открытую СеМО Джексона с расширенной матрицей маршрутизации

0 1 0 0 . . . 0

0 0 1 0 . . . 0

P = 0 0 0 1 . . . 0 .

… ………………

p 0 0 0 . . . 1-p

0 0 0 0 . . . 1

Интенсивности потоков l₁, λ₂, . . . , λ_N удовлетворяют уравнениям баланса:

l₁ = g + l_Np ,

l₂ = l₁ ,

l₃ = l₂ ,

……………..

l_N = l_N-1 .

Отсюда находим:

l₁ = l₂ = . . . = l_N = .

Если

p_i =

для всех i=1,2,...,N, то стационарный режим работы данной СеМО существует. Среднее число заявок в узлах 1,2,...,N в стационарном режиме находится по формулам для системы М|М|1:

Q_i = ,

i=1,2,...,N. По формуле Литтла для среднего пребывания заявки в СеМО в стационарном режиме имеем

(Q₁ + Q₂ + . . . Q_N) = .

Предположим, что моделируемая этой сетью физическая система может допускать возможность выбора интенсивностей m₁, m₂, . . . , m_N. обслуживания в узлах. Пусть выбор величин m=(m₁, m₂, . . . , m_N) имеет цену

C(m) = c₁m₁ + c₂m₂ + … + c_Nm_N ,

причем должно выполняться ограничение

C(m) £ C_max .

Задача состоит в следующем:

минимизировать T(m) = по m=(m₁, m₂, . . . , m_N)

(8.27)

при условии C(m) = c₁m₁ + c₂m₂ + … + c_Nm_N £ C_max

и m_i > q^-1g , i = 1,2, . . . , N.

Положим С_min = (c₁ + c₂ + … c_N). Учитывая условия в (8.27), замечаем ограничение: чтобы задача имела решение, должно выпол­няться неравенство С_min < C_max.

Задача (8.27) представляет собой стандартную задачу условной оптимизации с ограничениями в виде неравенств, которая решается ме­тодом множителей Лагранжа. Оптимальное решение m=(m₁, m₂, . . . , m_N) находится как точка стационарности функции

T(m) - b (C(m) - C_max)

из системы уравнений

C(m) - C_max = 0,

(8.28)

, i = 1,2, . . . , N.

Вычисляя частные производные в (8.28), находим выражения для m_i , i=1,2,...,N , через b:

. (8.29)

Найденные значения подставляем в (2.28), в первое уравнение:

= C_max .

Отсюда находим:

C_max - С_min ,

[C_max - С_min]^-1 q-^1/2 .

Подставляя найденное значение b в (8.29), находим оптимальное решение m=(m₁, m₂, . . . , m_N) , где

,

i=1,2,...,N. Для случая N=2 решение этой задачи изложено в. Другие аналогичные постановки оптимизационных задач имеются в.