Лекция №8 Примеры. Пример замкнутой СеМО

Рассмотрим замкнутую СеМО, состоящую из четырёх узлов [М|М|1]⁴ и моделирующую работу ЭВМ:

узел 1 - процессор ЭВМ;

узел 2 - экран монитора и клавиатура;

узел 3 - блок памяти;

узел 4 - принтер.

В качестве требований СеМО выступают программы, которые в данный момент находятся в ЭВМ. Предположим, что в каждый момент в ЭВМ находятся две программы - системная и программа пользователя, причём в момент, когда пользовательская программа покидает систему, в неб немедленно вводится следующая. Это учтено в модели

с помощью перехода 1®1:

Рис. 8.1.

Матрица маршрутизации имеет вид

p₁ p₂ p₃ p₄

q₁ 0 0 1-q₁

P = q₂ 0 0 1- q₂ .

q₃ 0 0 1- q₃

Случайное время обслуживания требования в i-м узле распределено по показательному закону с интенсивностью m=(m₁, m₂, m₃, m₄). Для стационарного режима работы сети определить:

1. Все возможные состояния системы.

2. Решение уравнений баланса.

3. Нормирующий множитель G(K,N).

4. Вероятности состояний сети р(k₁, k₂, k₃, k₄).

5- Вероятности состояний каждого узла р_i(l), l=0,1,…,К, i = 1,2, ... , N.

6. Вероятности P(Q_i ³ 1), l = 0,1,...,К, где Q_i - число требо­ваний в i-м узле.

7. Среднее число требований в i-м узле.

Решение

1. Число возможных состояний при N=4 и K=2 равно = = 10. Эти состояния (k₁, k₂, k₃, k₄) определяются решениями уравнения в целых числах:

k₁ + k₂ + k₃ + k₄=2 ,

0£ k_i £2, i=1, 2, 3, 4.

Следовательно, все 10 состояний равны векторам:

(1,1,0,0), (1,0,1,0),

(1,0,1,0), (0,1,1,0),

(2,0,0,0), (0,0,1,1),

(0,0,2,0), (0,0,0,2).

2. Уравнения баланса

m_ix_i = m₁x₁p_1i + m₂x₂p_2i + m₃x₃p_3i + m₄x₄p_4i , i=1, 2, 3, 4,

в нашем примере имеют вид

m₁x₁ = m₁x₁p₁ + m₂x₂p₁ + m₃x₃p₂ + m₄x₄p₃;

m₁x₁ = m₁x₁p₂;

m₃x₃ = m₁x₁p₃;

m₄x₄ = m₁x₁p₄ + m₂x₂(1-q₁) + m₃x₃(1-q₂) + m₄x₄(1-q₃).

Одно из неизвестных можно выбрать произвольно. Для простоты пусть х₁=1, тогда

x₂=p₂m₁/m₂;

x₃= p₃m₁/m₃; (8.26)

x₄= (1 - p₁ - p₂q₁ - p₃q₂).

3. Нормирующий множитель G(K,N) находим по формуле (8.15):

G(2,4) = 1 + х₂ + х₃ + х₄ + х₂ х₃ + х₂ х₄ + х₃ х₄ + .

4. Вероятности состояний сети находим по формулам (8.14):

р(1,1,0,0) = G^-1 (2, 4) x₂; р(1,0,1,0) = G^-1 (2, 4) х₃;

р(1,0,0,1) = G^-1 (2, 4) х₄; р(0,1,1,0) = G^-1 (2, 4) x₂х₃;

р(0,1,0,1) = G^-1 (2, 4) x₂х₄; р(0,0,1,1) = G^-1 (2, 4) x₃х₄;

р(2,0,0,0) = G^-1 (2, 4); р(0,2,0,0) = G^-1 (2, 4) ;

р(0,0,2,0) = G^-1 (2, 4) ; p(0,0,0,2) = G^-1 (2, 4) ;

5. Вероятности состояний i-го узла, i=1,2,3,4, определяются по формулам (8.16) и (8.26):

p_i(0) = 1 - G^-1 (2, 4) x_i (1 + х₂ + х₃ + х₄);

p_i(1) = 1 - G^-1 (2, 4) x_i (1 + х₂ + х₃ + х₄ - x_i);

p_i(2) = 1 - G^-1 (2, 4) .

6. Для i=1,2,3,4 имеем

P(Q_i ³ 1) = 1 - G^-1 (2, 4) x_i (1 + х₂ + х₃ + х₄);

P(Q_i ³ 2) = G^-1 (2, 4) ,

где х_i определены в (8.24).

7. Для i=1,2,3,4 по формулам (8.17) и (8.26) определяем:

EQ_i = G^-1 (2, 4) x_i (1 + х₂ + х₃ + х₄).