Система дифференциальных уравнений Колмогорова (4.10) для вероятностей состояний Pk(t), k = 0,1,... в случае процесса рождения и гибели Q(t) с инфинитезимальной матрицей (5.1) имеет вид
(если число возможных состояний процесса Q(t) конечно и равно N, то последнее уравнение системы (5.2) запишется в виде
Для процессов рождения и гибели имеет место следующая эргодическая теорема.
Теорема 3.1.Однородный процесс рождения и гибели является эргодическим тогда и только тогда, когда сходится ряд и расходится ряд .
В случае эргодичности процесса рождения и гибели, полагая Р`k(t) = 0 и заменяя вероятности Pk(t) в (5.2) их пределами получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения финальных вероятностей.
если число возможных состояний N конечно).
Найдем решение системы (5.3). Обозначим тогда (5.3) перепишется в виде
откуда zk = 0 или λk-1Pk-1-µkPk = 0, и
Используя нормировочное условие , получаем
(Если число состояний N конечно, то суммирование по k в (5.4) распространяется только до N.)
Из (5.4) следует, что Рк ≠ 0, если λj > 0, j = 0,1,2,..., и ряд
сходится, т.е. для существования стационарного ненулевого решения системы (5.2) при λj > 0, j = 1,..., достаточно сходимости ряда (5.5).
Заметим, что условия эргодичности выполняются, если начиная с некоторого k все члены последовательности λk-1/µk ограничены единицей, т.е. существуют некоторые k0 и с такие, что при всех k ≥ k0 выполняется неравенство
Если ряд (5.5) расходится, то рк = 0 при всех k = 0,1,2, ... Это означает, что при любом конечном k , т.е. в системе с вероятностью 1 с течением времени накапливается бесконечно много требований.
Теперь мы перейдем к применению полученного общего решения, задаваемого равенствами (5.4) к некоторым важным частным случаям.
Лекция №4 Системы, описываемые процессами рождения и гибели
4.1. Марковость процесса Q(t) в системе М|М|m
Рассмотрим систему массового обслуживания с m параллельно работающими обслуживающими приборами, в которую поступает простейший поток требований с интенсивностью λ. Времена обслуживания требований vk не зависят друг от друга, от входного потока и имеют одинаковое показательное распределение с параметром µ. Требования обслуживаются в порядке их поступления в систему.
Состояние системы описывается случайным процессом Q(t) - числом требований, находящихся в системе в момент времени t. Покажем, что для системы М|М|m процесс Q(t) является марковским. Действительно, если в некоторый момент времени t система находится в состоянии k, т.е. Q(t)=k, то дальнейшее течение процесса определяется:
а) моментами окончания обслуживании, производящихся в момент времени t;
б) моментами поступления новых требований после t;
в) длительностями времени обслуживания требований, поступивших после t.
Ни один из этих факторов не зависит от того, что происходило в системе до момента t. Для фактора а) это следует из свойства отсутствия последействия показательного распределения времени обслуживания. Для фактора б) - из свойства отсутствия последействия показательного распределения времени uk ожидания системой очередного требования и из независимости между собой промежутков времени uk в простейшем потоке. Для фактора в) - из предположения о независимости времен обслуживания vk между собой и их независимостью от tk - времен поступления новых требований. Отсюда следует, что случайный процесс Q(t) является марковским. Более того, из свойств, которыми обладает простейший поток требований (см. разд. 3), вытекает, что для системы M|M|m процесс Q(t) - это процесс рождения и гибели. Однако переходные вероятности этого процесса уже зависят от алгоритма обслуживания.
4.2. Система M|M|m с ожиданием
Рассмотрим СМО с m параллельно работающими приборами, простейшим входящим потоком требований с интенсивностью λ, показательным распределителем времени обслуживания с параметром µ и неограниченным числом мест для ожидания. Каждое требование, поступившее в систему, начинает немедленно обслуживаться, если в момент его поступления есть хотя бы один свободный прибор. Если требование застает все приборы занятыми, то оно становится в очередь. Случайный процесс Q(t) - число требований, находящихся в СМО в момент времени t - может принимать значения из множества Z+={0,1,2...}. Найдем его параметры. По свойству 2 простейшего потока для переходных вероятностей pk k+1(Δt) имеем
Далее, если Q(t)=k, то число приборов, занятых обслуживанием, равно s = min(k,m). Вероятность того, что за время Δt один из них завершит работу по формуле (2.1), равна
В силу свойства 4 простейшего потока (см. разд. З) справедливо
Таким образом, процесс Q(t) - это процесс рождения и гибели, у которого
Система дифференциальных уравнений (5.2) в этом случае имеет вид
В стационарном режиме система (6.1) перепишется в виде
Используя общее решение (5.4), найденное в п.5.2 для стационарного распределения процесса рождения и гибели, находим
где р = λ/µ - параметр загрузки системы. Если р/m < 1, то выполнены условия эргодической теоремы (теоремы 5.1, п.5.2), ряд в правой части (6.2) сходится, и мы получаем
Далее по формуле (5.4) находим
Если р/m = λ/mµ ≥ 1 (загрузив системы, приходящаяся на один прибор), то ряд в правой части (6.2) расходится. В этом случае ро = 0 и, следовательно, все рк = 0. Это, как уже отмечалось в п.5.2, означает, что в системе с вероятностью 1 скапливается бесконечная очередь.
и расходится ряд 
.
получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения финальных вероятностей.
если число возможных состояний N конечно).
тогда (5.3) перепишется в виде
, получаем
, т.е. в системе с вероятностью 1 с течением времени накапливается бесконечно много требований.
