Свойства простейшего потока

Рассмотрим последовательность {u_k, k ≥ 1} независимых экспонен-циально распределенных случайных величин с параметром λ и связанный с ней простейший поток однородных событий, т.е. множество моментов времени t_k, к ≥ 1, где t_k = u₁ + u₂ + ... +u_k. Приведем основные свойства простейшего потока.

1. Время от момента t > 0 до следующего события потока имеет показательное распределение с параметром λ, независимое от числа и моментов событий потока в интервале (0, t). Это следует из свойства марковости показательного распределения.

2. Если P₁ (Δt), - вероятность того, что за время Δt произойдет ровно одно событие простейшего потока, то

Где (Δt) обозначает бесконечно малую величину более высокого порядка малости, чем Δt (т.е. (Δt)/Δt →0 при Δt →0).

Действительно, из (2.2) следует, что

3. Если Po(Δt) - вероятность того, что за время Δt не произойдет ни одного события простейшего потока, то

4. Если P_>1(Δt) - вероятность того, что за время Δt произойдет более чем одно событие простейшего потока, то

Свойство (3.2) называется свойством ординарности простейшего потока. Докажем (3.2):

5. В соответствии с (2.2) число ν(t) событий простейшего потока в интервале (0, t) (и в любом другом интервале длины t) имеет распределение Пуассона с параметром λt, и так как математическое ожидание пуассоновской случайной величины равно ее параметру, то Eν(t) = λt. B частности, при t = 1 получаем Еν > (1) = λ. Отсюда вытекает, что λ есть среднее число событий простейшего потока, происходящих в единицу времени, т.е. интенсивность потока.

6. Пусть Δ₁, Δ₂,..., Δ_n - последовательные непересекающиеся интервалы полупрямой (t ≥ 0). Обозначим ν₁ - число событий потока в интервале времени Δ_i. Очевидно, что ν₁ зависит только от длины | Δ₁| интервала с номером i и не зависит от ν₁, ν₂,... v_i-1, i=2,...n. Следовательно, все ν_i независимы в совокупности. Отсюда и из (2.2) вытекает

Из (3.3) следует, что эта вероятность не изменится, если все интервалы Δ_i сдвинуть вправо на одно и то же расстояние. Это свойство инвариантности простейшего потока называется стационарностью потока однородных событий.

Отметим, что свойство независимости случайных величин ν₁, ν₂,... v_n называется отсутствием последействия: число событий потока, происходящих в интервале Δ_i, не зависит от того, сколько событий и как происходило в интервалах Δ₁, Δ₂,..., Δ_i-1. Таким образом, мы показали, что простейший поток обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности. Можно показать, что верно и обратное: любой поток, обладающий этими тремя свойствами, является простейшим.

7. Пусть имеется k независимых простейших потоков с интенсивностью λ₁, λ₂,..., λ_k. Обозначим 0 = t₀ < t₁ < t₂ < . . . < t_n < . . . - моменты наступления событий объединенного потока, образованного слиянием (наложением) данных потоков. Тогда объединённый поток также является простейшим с суммарной интенсивностью λ = λ₁, λ₂, ..., λ_k .

Лекция №3