Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении вала возникает только крутящий момент , а все остальные внутренние силовые факторы равны нулю.
На кручение работают валы двигателей и станков, оси моторных вагонов и локомотивов, винтовые пружины и т.п.
Рассмотрим прямой стержень круглого поперечного сечения, левый конец которого жестко закреплен, а к свободному правому концу приложен скручивающий момент М (рис. 5.8, а). В заделке возникает реактивный момент противоположного направления.
Рис. 5.8
Для определения крутящего момента используем метод сечений (рис. 5.8, б). Под действием скручивающего момента М в произвольном сечении возникает крутящий момент Мк, постоянный по длине стержня. Крутящий момент будем считать положительным, если при взгляде на сечение со стороны его внешней нормали он направлен против хода часовой стрелки. Закон изменения крутящих моментов по длине стержня изображается графически с помощью эпюры крутящих моментов. В данном случае крутящий момент постоянен по длине стержня (рис. 5.8, в).
К стержню может быть приложено несколько скручивающих моментов (рис. 5.9, а). Так как стержень и любая его часть находятся в равновесии, то алгебраическая сумма скручивающих моментов, приложенных к каждой части стержня, должна быть равна нулю. Из уравнения равновесия всего стержня определим реактивный момент МА в заделке.
кНм.
Рис. 5.9
Участок АВ
Участок ВС
Участок CD
Эпюра крутящих моментов показана на рис. 5.9, д.
Напряжения в стержне круглого поперечного сечения при кручении. Рассмотрим стержень круглого поперечного сечения, защемленный левым концом и нагруженный на правом конце скручивающим моментом М (рис. 5.11).При кручении образующая АВ на боковой поверхности стержня превратится в винтовую линию АВ1. Поперечное сечение стержня, находящееся на расстоянии х от заделки, повернется на угол φ, а соседнее с ним сечение — на угол φ + dφ. Угол φ называется углом закручивания, а производная от φ по х — относительным углом закручивания
Экспериментальные и теоретические исследования кручения круглых стержней дают основание принять следующие гипотезы:
1. Поперечные сечения стержня, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
2. Радиусы поперечных сечений в процессе кручения не искривляются и сохраняют свою длину.
Рис. 5.11
В результате взаимного поворота поперечных сечений происходит перекос прямых углов элемента, т.е. возникают угловые деформации γ. При этом, величина γ изменяется в зависимости от переменного радиуса r по линейному закону и имеет наибольшее значение γнб в точках боковой поверхности.
. (5.10)
Деформации сдвига возникают от касательных напряжений τ, действующих согласно закону парности в поперечных и продольных сечениях стержня.
Рассмотрим напряженное состояние стержня. Согласно закону Гука при сдвиге с учетом формулы (5.10) получим
. (5.11)
Касательные напряжения, действующие в поперечных сечениях стержня, приводятся к крутящему моменту Мк.
,
Величина
представляет собой полярный момент инерции сечения. Для сплошного круглого сечения он равен
. (5.12)
С учетом этого выразим относительный угол закручивания через крутящий момент
. (5.13)
Величина GJp , входящая в эту формулу, называется жесткостью круглого стержня при кручении.
Подставляя найденную величину φ' в равенство (5.11), получим формулу для определения касательных напряжений в поперечных сечениях круглого стержня при кручении
. (5.14)
Из этой формулы видно, что касательные напряжения в поперечном сечении изменяются в радиальном направлении по линейному закону (рис. 5.12). Наибольшее значение они принимают на контуре сечения при r = R
. (5.15)
где Wp — полярный момент сопротивления, равный
. (5.16)
Рис. 5.12 Рис. 5.13 Рис. 5.14
Формулы (5.13) — (5.15) справедливы также для трубчатого стержня (рис. 5.14). При этом полярный момент инерции и полярный момент сопротивления равны
. (5.17)
Определение углов закручивания стержней круглого сечения.Интегрируя равенство (5.13) по длине стержня в пределах от 0 до х, получим выражение для угла закручивания
. (5.18)
где φ0 — угол закручивания начального сечения. Если начальное сечение закреплено, то φ0 = 0. В частном случае, когда Мк = const, GJp = const и левый конец закреплен (рис. 5.17), получим
.
Рис. 5.15
Эпюры Мк и φ для этого случая приведены на рис. 5.15.
При нагружении стержня равномерно распределенным скручивающим моментом т (рис. 6.10) крутящий момент в произвольном сечении х равен Мк = ml – тх, где М0= ml — реактивный момент в заделке.
Для определения углов закручивания подставим это выражение в формулу (5.18), принимая φ0 = 0. После интегрирования получим
.
Рис. 5.16
Эпюры Мк и φ приведены на рис. 5.16. Угол закручивания изменяется по закону квадратной параболы.
Расчет стержней круглого сечения на прочность и жесткость.Кручение как основной вид деформации характерно для элементов машиностроительных конструкций.
Условие прочности при кручении стержней круглого сечения имеет вид
, (5.19)
где — наибольший крутящий момент в стержне от действия нормативных нагрузок; Wp — полярный момент сопротивления; [τ] — допускаемое касательное напряжение.
Из условия прочности (5.19) получим формулу для подбора сечения
.
Отсюда находим требуемые размеры сечения стержня. Для стержня сплошного круглого сечения с учетом (5.16) имеем
. (5.20)
Для трубчатого стержня с учетом (5.17)
. (5.21)
Стержни, работающие на кручение, должны обладать достаточной жесткостью. Условие жесткости при кручении имеет вид
, (5.22)
где [φ'] — допускаемый относительный угол закручивания, обычно принимаемый в пределах 0,15 ÷ 2 град/м.
Из условия жесткости (5.22) имеем
.
Отсюда находим требуемые размеры поперечного сечения стержня. Для стержня сплошного круглого сечения с учетом (5.12) имеем
. (5.23)
Для трубчатого стержня с учетом (5.17) получим
. (5.24)
При расчете стержня на прочность и жесткость из двух требуемых значений диаметра надо принять большее.
