Модели, формула полной реакции, устойчивость. Модели

Обратимся теперь к дискретным системам, которые описываются моделями вида (2.6), (2.8).

z(t) = z(t_i) = z(i) "tÎ [t_i , t_i+1), интервалы Dt _i = t _i+1 - t _i не обязательно должны быть равными ;

моменты времени можно занумеровать t _i+1 = t_i + Dt_i, i = 0, 1, ..., t_i « i.

Часто для удобства и простоты принимают Dt_i = Dt " i = 0, 1, ..., тогда

t_i = t₀ + iDt или при t₀=0 t_i = iDt.

Описание дискретных систем можно осуществлять дискретными уравнениями вида

x(i + 1) = A(i) x(i) + B(i) u(i) (7.1)

y(i+1) = C(i+1)x(i+1). (7.2)

Из описания следует, что это нестационарная система. Её динамика описывается разностным уравнением (7.1), которое является аналогом дифференциального уравнения в непрерывной системе. Уравнение для выходных величин (7.2) здесь является чисто алгебраическим. Указание номера момента времени у матриц подчеркивает, что они меняются в зависимости от момента времени, их элементы являются функциями номера i.

Если матрицы постоянны , т.е. они числовые, то система будет стационарной

x(i + 1) = A x(i) + B u(i) (7.3)

y(i+1) = C x(i+1). (7.4)

Смысл векторов и матриц в моделях (7.1) - (7.4) тот же, что и в уравнениях непрерывной системы.

Дискретные системы могут возникать естественным образом или в результате дискретизации исходно непрерывной системы.

Пример естественной дискретной системы. Банковский счет: x(i) - сумма на счете, a(i) - процентная ставка в банке в i - месяц, u(i) - суммарный взнос в i - месяц, тогда

x(i+1) = a(i)x(i) + u(i) , i = 0, 1, 2,..., x(0) - задано (начальное состояние)