Удовлетворение некоторых требований

Теперь покажем один из способов удовлетворения этих требований, основанный на использовании типовых воздействий на систему.

Пусть воздействие на систему имеет вид

r(t) = a₀ + a₁t + ....+ a_N t^N, t > 0 (6.52)

тогда : Теорема. Установившаяся реакция устойчивого звена на полиномиальное воздействие вида (52) также является полиномом, представимым в виде

y_¥ (t) = c₀ r(t) = c₁Dr(t) + ... + c_N D^N r(t) (6.53)

где c_k = 1 / k! [d^k H(p) / dp^k] _p=0 , k = 0, 1, ..., N . (6.54)

Отсюда: а) если r(t) = a₀ , t > 0, то установившаяся реакция устойчивого звена также постоянная величина и равна

y_¥ (t) = H(0) a₀;

б) если r(t) = a₀ + a₁t , t > 0, то установившаяся реакция устойчивого звена равна

y_¥ (t) = H(p) |_p=0 (a₀ + a₁t) + dH(p) / dp |_p=0 a₁.

Применяя этот результат к условию 2) из п. 6.3.1. получим для установившейся ошибки

e _¥ (t) = r(t) - y _¥ (t) = [1 - H_з (0)] (a₀ + a₁t) + [d(1 - H_з (p)) / dp]_p=0 a₁ (6.55)

Отсюда видно, что ошибка может быть ограничена при а₁ ¹ 0 только в случае выполнения условия астатизма

Н_з (0) = 1 (6.56)

т.к. Н_з (р) = Н_р(р) [ 1 + Н_р(з) ] ^-1

то для выполнения (6.56) должно быть Н_р^{- 1} (0) = 0. Чтобы убедиться в этом, достаточно умножить числитель и знаменатель правой части последнего выражения на Н_р^{- 1}(0):

(Н_р(0) Н_р^{- 1}(0)) [1 H_p^{- 1}(0) + H_p(0) H_p^{- 1}(0) ]^{- 1} = 1.

Это возможно только, если разомкнутая передаточная функция имеет нулевой полюс, т.е. в знаменателе члены вида (р - 0) = р. Если этот полюс простой, то передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в виде

Н_р(р) = k_p H1_p(p) / p, H1_p(0) =1, k_p = const (6.57)

тогда d/dp[1-H_з(p)]_p=0 = d/dp[p/ (p + k_pH1_p(p))]_p=0 = k_p^{- 1}

и следовательно из (6.55) получим

e _¥ =a₁ k_p^{- 1} = const.

Таким образом для выполнения требования 2) из п. 6.3.1 можно принять разомкнутую передаточную функцию в виде (6.57), причем коэффициент k_р должен удовлетворять условию

(6.58)

где d₀^{- 1} - называется добротностью системы.

Теперь обратимся к требованию 3) из п. 6.3.1 мы знаем, что реакция линейной дифференциальной системы на гармоническое воздействие является гармонической функцией с амплитудой

a _e = | 1 - H _з (jw)| a _r , следовательно, для удовлетворения требования (6.49) необходимо, чтобы желаемая передаточная функция замкнутой системы подчинялась ограничению

| 1 - H_з (jw)| £= d _r , wÎW _r (6.59)

что эквивалентно ограничению на разомкнутую передаточную функцию.

| 1 + H_p (jw) | ³ d _r ^{- 1} , wÎW _r (6.60)

Требование 4) п. 6.3.1 также учитывается через ограничения на передаточную функцию системы в виде

| H_з (jw) | £= d _N , wÎW _N (6.61)

или через разомкнутую п.ф.

| 1 + H_p(jw) | ³ d _N^{- 1} , wÎW_N (6.62)

Все требования обеспечиваются выбором передаточной функции замкнутой системы. Если передаточная функция объекта не удовлетворяют сформулированным требованиям, то при разработке регулятора вводятся обратные связи, обеспечивающие удовлетворение этих требований через замкнутую передаточную функцию.