Частотные критерии устойчивости

Об устойчивости характеристического уравнения можно судить по поведению корней на комплексной плоскости и по их поведению при изменении частоты.

Рассмотрим положение годографа (конца вектора Н(р)) на комплексной плоскости при изменении р.

Пусть Н(р) описывает замкнутую кривую С. Рассмотрим векторы р -a и р-g, где a - вне, а g - внутри контура С.

Нетрудно видеть, что при обходе контура С аргумент числа р - a изменяется на 0, в то время как аргумент р - g на 2p. Теперь, если Н(р) - передаточная функция, которая имеет внутри контура С h нулей m₁ ,m₂ ,...,m и l полюсов n₁, n₂, ..., n_l, то её можно представить в виде

При обходе аргументом р кривой С по ходу часовой стрелки аргумент числителя получит приращение 2ph, а аргумент знаменателя 2pl, следовательно аргумент дроби изменится на 2p(l - h).

Если h>l , то Н(р) обходит начало координат по часовой стрелке h - l раз, если h<l , то точка Н(р) обходит начало координат против часовой стрелки l -h раз.

Мы помним, что передаточная функция замкнутой системы с жесткой отрицательной обратной связью имеет вид H(p) / 1 + H(p). Следовательно её характеристическое уравнение есть знаменатель передаточная функция замкнутой системы и для него начало координат переносится в точку ( -1, 0)

На этом основании получены следующие критерии Михайлова - Найквиста

Замкнутая система автоматического регулирования будет устойчива, если её частотная характеристика в разомкнутом состоянии H(jw), имеющая m полюсов в правой полуплоскости, при изменении w от 0 до ¥ охватывает точку с координатами ( -1 ,0) m/2 раз в положительном направлении (против часовой стрелки).

На рисунке изображены два годографа для системы с m=0. 1-я система устойчива, т.к. годограф не пересекает (- ¥, -1]; 2-я система не устойчива. Частота, при которой годограф пересекает единичную окружность называется частотой среза, угол g_ф -запас устойчивости по фазе, Н_М – запас устойчивости по модулю. Они оговариваются в технических условиях на систему и обеспечивают её работоспособность даже при отклонениях параметров от номинальных.