Как отмечалось в предыдущих лекциях, ненагруженный резерв более эффективен, чем нагруженный, и количественно показатели эффективности зависят от законов распределения наработки до отказа отдельных элементов резервированной системы.
Основным моментом, который может сказаться на оценке надежности является то, что предположение= const является довольно условным, поскольку, особенно при отсутствии технического обслуживания, очередной работающий элемент эксплуатируется до полного износа (физически должна возрастать). Поэтому принятое экспоненциальное распределение наработки элементов, переходящих из резервных в рабочие, использовалось только с целью упрощения расчетов.
Ненагруженный резерв в рамках принятых допущений не всегда осуществим. Например, в авиа- и судовых системах как основные, так и резервные элементы подвержены вибрации, ударам, повторно-статическим нагрузкам, перепадам температур и т. п. Поэтому не включенные в работу резервные элементы будут иметь некоторую 0, то есть они также изнашиваются, но менее интенсивно.
Поэтому, в ряде практических случаев, уместно применять облегченный резерв:
( подключение резервных элементов (РЭ) к цепям питания для прогрева и удержания требуемых значений параметров;
( внешние нагрузки и воздействия, приводящие к изменению свойств материалов, рабочих параметров и т. п.
При этом, РЭ будут иметь некоторую интенсивность отказов р0 .
Рассмотрим систему, состоящую из равнонадежных основного (ОЭ) и резервного (РЭ) элементов. Элементы невосстанавливаемые.
События, обеспечивающие безотказную работу (БР) системы за наработку (0, t ):
A = {БР системы за наработку (0, t )};
A1 = {БР ОЭ за наработку (0, t )};
A2 = {отказ ОЭ в момент < t, включение РЭ и БР его на интервале (t - )}.
Событие A представляет сумму событий A1 и A2
A = A1A2
ВБР системы за наработку (0, t ), т.е. к наработке t равна сумме вероятностей событий A1 и A2:
P(A) = P( A1 ) + P( A2 ) ,
где P(A) = Pс( t ) – ВБР системы к наработке t;
P(A) = P0 ( t ) – ВБР ОЭ к наработке t (за интервал (0, t ));
P(A) = Pр ( t ) – ВБР РЭ к наработке t, при условии, что ОЭ отказал.
При известном законе распределения наработки ОЭ вычисление P0 ( t ) не составляет труда, подробнее рассмотрено определение Pр ( t ).
Для этого событие A2раскладывается на составляющие:
A21 = {отказ ОЭ при наработке < t};
A22 = {БР РЭ до наработки – момент включения его в работу};
A23 = {БР РЭ от до t, т.е. за интервал (t - )}.
Очевидно, событие A2 выполнится при одновременном выполнении всех событий:
A2 = A21A22A23 ;
События A21, A22, A23 являются зависимыми, но поскольку они представляют ВБР или ВО элементов, наработки до отказа которых описываются своими законами распределения, то вероятность события A2 равна произведению вероятностей событий:
P( A2 ) = P( A21 ) · P( A22 ) · P( A23 ) .
Соответствующие вероятности определяются:
Выделяется бесконечно малый интервал [, + d] и определяется вероятность отказа ОЭ в интервале [, + d]:
f0 ( ) = - dP0 ( ) / d – ПРО ОЭ.
ВБР РЭ до момента отказа ОЭ
Pр ( ) = P( A22 )
ВБР РЭ от момента включения в работу до t
Pр (t - ) = P( A23 ) .
Тогда ВБР ОЭ в течение наработки [, + d] при условии, что ОЭ отказал, равна:
Pр ( ) · Pр (t - ) · f0 ( ) d .
Полученное выражение не равно P( A2 ), поскольку выражает ВБР за выделенный бесконечно малый интервал наработки вблизи .
Поскольку < t, то из полученного выражения искомая вероятность Pр ( t ) = P( A2 ), получена интегрированием выражения по всем от 0 до t.
Окончательно:
Тогда ВБР резервируемой системы с облегченным резервом:
Аналогично, ВБР системы, состоящей из n равнонадежных элементов:
где индекс (n-1)с означает, что ВБР и ПРО относятся к системе, при отказе которой включается рассматриваемый n –й элемент.
При экспоненциальном распределении наработки до отказа элементов составляющие расчетного выражения принимают вид:
P
р
(
) = exp(-
p
);
P
р
(t -
) = exp { -
раб
(t -
)};
f
0
(
) =
раб
exp ( -
раб
·
);
P
0
( t ) = exp ( -
раб
· t ),
где раб – ИО элементов в рабочем режиме; p – ИО элементов в режиме резерва.
При наличии одного ОЭ и одного РЭ (n = 2), ВБР определяется:
окончательно:
Pс ( t ) = exp ( - раб · t )[1 + раб {1 - exp ( - pt )} / p] .
Для системы из n элементов с экспоненциальной наработкой до отказа
где
Расчеты для систем с облегченным резервом имеют объективные трудности, поскольку очень трудно учесть как влияет нагрузка, внешние воздействия на характеристики надежности.
Средняя наработка до отказа системы из n элементов:
Для практических расчетов систем с облегченным резервированием в случае, если ОЭ имеет распределением наработки P0 ( t ) = exp ( - раб · t ) и идентичные резервные элементы (РЭ)
Pр ( t ) = exp (- pt ) – для( n - 1 ) резервных элементов,
ВБР системы может быть приближенно определена по выражению:
где n – общее число элементов системы.
Например, при n = 2 (k = 1, m = 1)
при n = 3 (k = 2, m = 1)
2. Скользящее резервирование
При скользящем резервировании резервный элемент может быть включен взамен любого из отказавших элементов основной системы.
Структура скользящего резервирования:
Основная система – n элементов.
Резервная группа – m элементов.
Обычно m < n, т. е. число резервных элементов (РЭ) меньше числа основных (ОЭ), поэтому скользящее резервирование считается активным с дробной кратностью.
Отказ системы наступает в случае, когда число отказавших основных элементов превысит число резервных.
Примером может служить организация линий связи, когда имеется одна резервная линия на несколько основных (в практике, трех).
Рассмотрен случай определения ВБР системы с одним резервным элементом на n элементов основной системы.
Допущение: РЭ и элементов основной системы равнонадежны и РЭ не может отказать до момента его включения в работу.
Известны: Pi ( t ) = P ( t ); Pn ( t ); Pp ( t ).
Получение расчетного выражения для ВБР системы аналогично тому, что было приведено для облегченного резерва:
· выделение возможных состояний системы, при которых она продолжает безотказно работать;
· вычисление вероятностей этих состояний.
События, обеспечивающие безотказную работу (БР) системы в течение (0, t ):
A = {БР системы за наработку (0, t )};
A1 = {БР всех элементов основной системы за наработку (0, t )};
A2 = {БР при условии, что отказал один элемент из при < t, переключающее устройство работоспособно – включение РЭ и БР его на интервале (t - )}.
Событие A выполняется в результате выполнения одного из событий A1 или A2A = A1 A2.
Работа резервного элемента
ВБР системы за наработку (0, t ) равна:
P( A ) = P( A1 ) + P( A2 ) ,
где P( A ) = Pс ( t );P( A1 ) = P1 ( t ) = P0c ( t ) = Pn ( t ) – ВБР основной системы (ОС) к моменту t, где P1 ( t ) = … = Pn ( t ) = P ( t ) – ВБР каждого из элементов;
P( A2 ) = P2 ( t ) – ВБР для события A2.
Для определения вероятности P( A2 ), рассмотрим событие A2:
A121 = {отказ одного (первого) из элементов ОС при < t};
A122 = {БР переключающего устройства (ПУ) до наработки – момента включения РЭ};
A123 = {БР РЭ после включения его в работу, т. е. на интервале (t - )}.
Очевидно, что
A12 = A121 A122A123,
поэтому
P(A12) = P(A121) · P(A122) · P(A123) .
Индекс 1 – отказ 1 элемента ОС.
Соответствующие вероятности:
1. Выделяется бесконечно малый интервал [, + d] и определяется ВО ОЭ в интервале [, + d]:
f( )d = - dP( ) / d .
2. ВБР ПУ до момента отказа одного из элементов ОС равна Pп();
3. ВБР РЭ с момента его включения, т. е. за интервал (t - ): Pр ( t - ).
Тогда ВБР системы в течение наработки [, + d] при отказе первого элемента ОС, равна:
f( ) d · Pп ( ) · Pр ( t - )
Интегрируя по всем от 0 до t, определяется ВБР системы при условии, что первый из элементов ОС отказал:
Аналогичные рассуждения можно провести для каждого из n элементов ОС. После отказа одного из элементов, n –1 элементов должны остаться работоспособными.
Поскольку событие A2, заключающееся в БР системы, подразумевает БР при отказе любого из n элементов ОС, то его можно рассматривать, как
где .
An – 1 – событие, заключающееся в БР оставшихся (n – 1) элементов ОС;
Ai2 – БР системы при отказе i-го элемента (не только первого) ОС.
где P(An – 1) = Pn – 1( t ) .
Поэтому ВБР системы при отказе элемента ОС выражается:
Тогда ВБР системы со скользящим резервом определяется:
При экспоненциальном распределении наработки до отказа основных и резервных элементов P( t ) = exp ( - j t ), а также переключающего устройства (ПУ), ВБР системы:
Pс(t ) = [ 1 + n · 0 / п (1 – exp ( - пt ))] exp ( - n 0t ),
где 0 – ИО основного и резервного элементов;
п – ИО переключающего устройства.
Показатель эффективности резервирования:
Bр = Pс(t ) / P0с(t ) = 1 + n · 0 / п (1 – exp ( - пt )) ,
где P0 с(t ) = exp ( - n 0 t ) – ВБР основной системы.
При большем числе резервных элементов (m > 1) при определении Pс(t) рассматриваются четыре несовместных события (для m = 2), при которых возможна БР системы и т. п.
НАДЕЖНОСТЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ
1. Постановка задачи. Общая расчетная модель
При расчете показателей надежности восстанавливаемых объектов и систем наиболее распространено допущение:
· экспоненциальное распределение наработки между отказами;
· экспоненциальное распределение времени восстановления.
Допущение во многом справедливо, поскольку во-первых, экспоненциальное распределение наработки описывает функционирование системы на участке нормальной эксплуатации, во-вторых, экспоненциальное распределение описывает процесс без «предыстории».
Применение экспоненциального распределения для описания процесса восстановления позволяет при ординарных независимых отказах представить анализируемые системы в виде марковских систем.
При экспоненциальном распределении наработки между отказами и времени восстановления, для расчета надежности используют метод дифференциальных уравнений для вероятностей состояний (уравнений Колмогорова-Чепмена).
Случайный процесс в какой либо физической системе S, называется марковским, если он обладает следующим свойством: для любого момента t0 вероятность состояния системы в будущем (t > t0) зависит только от состояния в настоящем (t = t0) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит от предыстории процесса - прошлого).
t < t
0
t > t
0
Для марковского процесса «будущее» зависит от «прошлого» только через «настоящее», т. е. будущее протекание процесса зависит только от тех прошедших событий, которые повлияли на состояние процесса в настоящий момент.
Марковский процесс, как процесс без последействия, не означает полной независимости от прошлого, поскольку оно проявляется в настоящем.
При использовании метода, в общем случае, для системы S, необходимо иметь математическую модель в виде множества состояний системы S1 , S2 , … , Sn , в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов.
Для рассмотрения принципа составления модели введены допущения:
- отказавшие элементы системы (или сам рассматриваемый объект) немедленно восстанавливаются (начало восстановления совпадает с моментом отказа);
- отсутствуют ограничения на число восстановлений;
- если все потоки событий, переводящих систему (объект) из состояния в состояние, являются пуассоновскими (простейшими), то случайный процесс переходов будет марковским процессом с непрерывным временем и дискретными состояниями S1 , S2 , … , Sn .
Основные правила составления модели:
1. Математическую модель изображают в виде графа состояний.
Элементы графа:
а) кружки (вершины графа S1 , S2 , … , Sn ) – возможные состояния системы S, возникающие при отказах элементов;
б) стрелки – возможные направления переходов из одного состояния Si в другое Sj.
«Петлей» обозначаются задержки в том или ином состоянии S0 и S1 соответствующие:
- исправное состояние продолжается;
- состояние отказа продолжается (в дальнейшем петли на графах не рассматриваем).
Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы S1 , S2 , … , Sn . Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний.
2. Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/ восстановление) применяют вероятности состояний
P1(t), P2(t), … , Pi(t), … , Pn(t),
где Pi(t) – вероятность нахождения системы в момент t в i-м состоянии, т. е.
Pi(t) = P{S(t) = si}.
Очевидно, что для любого t
(1)
(нормировочное условие, поскольку иных состояний, кроме S1 , S2 , … , Sn нет).
3. По графу состояний составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова-Чепмена), имеющих вид:
(2)
В общем случае, интенсивности потоков ij и ij могут зависеть от времени t.
При составлении дифференциальных уравнений пользуются простым мнемоническим правилом:
а) в левой части – производная по времени t от Pi(t);
б) число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другими состояниями;
в) каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;
г) знак произведения положителен, если стрелка входит (направлена острием) в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.
Проверкой правильности составления уравнений является равенство нулю суммы правых частей уравнений.
4. Чтобы решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний P1(t), Pi(t), … , Pn(t) необходимо задать начальное значение вероятностей
P1(0), Pi(0), … , Pn(0), при t = 0,
сумма которых равна единице:
Если в начальный момент t = 0 состояние системы известно, например, S(t=0) = Si, то Pi(0) = 1, а остальные равны нулю.
= const является довольно условным, поскольку, особенно при отсутствии технического обслуживания, очередной работающий элемент эксплуатируется до полного износа (физически 
0, то есть они также изнашиваются, но менее интенсивно.
< t, включение РЭ и БР его на интервале (t - 
A2
A22 
окончательно:
Pс ( t ) = exp ( - 
где 
Расчеты для систем с облегченным резервом имеют объективные трудности, поскольку очень трудно учесть как влияет нагрузка, внешние воздействия на характеристики надежности.
Средняя наработка до отказа системы из n элементов:
Для практических расчетов систем с облегченным резервированием в случае, если ОЭ имеет распределением наработки P0 ( t ) = exp ( - 
где n – общее число элементов системы.
Например, при n = 2 (k = 1, m = 1)
при n = 3 (k = 2, m = 1)
2. Скользящее резервирование
При скользящем резервировании резервный элемент может быть включен взамен любого из отказавших элементов основной системы.
Структура скользящего резервирования:
Основная система – n элементов.
Резервная группа – m элементов.
Обычно m < n, т. е. число резервных элементов (РЭ) меньше числа основных (ОЭ), поэтому скользящее резервирование считается активным с дробной кратностью.
Отказ системы наступает в случае, когда число отказавших основных элементов превысит число резервных.
Примером может служить организация линий связи, когда имеется одна резервная линия на несколько основных (в практике, трех).
Рассмотрен случай определения ВБР системы с одним резервным элементом на n элементов основной системы.
Допущение: РЭ и 
элементов основной системы равнонадежны и РЭ не может отказать до момента его включения в работу.
Известны: Pi ( t ) = P ( t ); Pn ( t ); Pp ( t ).
Получение расчетного выражения для ВБР системы аналогично тому, что было приведено для облегченного резерва:
· выделение возможных состояний системы, при которых она продолжает безотказно работать;
· вычисление вероятностей этих состояний.
События, обеспечивающие безотказную работу (БР) системы в течение (0, t ):
A = {БР системы за наработку (0, t )};
A1 = {БР всех 
ВБР системы за наработку (0, t ) равна:
P( A ) = P( A1 ) + P( A2 ) ,
где P( A ) = Pс ( t );
P( A1 ) = P1 ( t ) = P0c ( t ) = Pn ( t ) – ВБР основной системы (ОС) к моменту t, где P1 ( t ) = … = Pn ( t ) = P ( t ) – ВБР каждого из 
Аналогичные рассуждения можно провести для каждого из n элементов ОС. После отказа одного из элементов, n –1 элементов должны остаться работоспособными.
Поскольку событие A2, заключающееся в БР системы, подразумевает БР при отказе любого из n элементов ОС, то его можно рассматривать, как
где 
где P(An – 1) = Pn – 1( t ) .
Поэтому ВБР системы при отказе 
Тогда ВБР системы со скользящим резервом определяется:
При экспоненциальном распределении наработки до отказа основных и резервных элементов P( t ) = exp ( - 
ij могут зависеть от времени t.