Рассматривается система, состоящая из одного основного и (n - 1) резервных элементов.
При условии, что отказы элементов независимы, отказ системы происходит только при отказе всех n элементов.
Структура системы
Случайная наработка до отказа:
(система работоспособна до тех пор, пока работоспособен хотя бы один элемент).
Поскольку отказ системы есть событие, которое заключается в одновременном появлении событий – отказах всех элементов, то
· вероятность отказа (ВО):
· вероятность безотказной работы (ВБР):
· математическое ожидание (МО) наработки до отказа:
При идентичных элементах системы, т. е. P1(t) = … = Pn(t)
· ВБР:
· ВО:
· МО наработки до отказа:
Для системы с экспоненциальной наработкой до отказа каждого из n элементов:
Pi(t) = exp(- i t),
где i = const показатели безотказности:
Таким образом, при нагруженном резервировании экспоненциальное распределение наработки до отказа не сохраняется.
При идентичных n элементах системы МО наработки до отказа:
При большом n (n ), T0с1/ ·( ln n + c), где c = 0.577….
При неидентичных элементах:
Для системы с n идентичными элементами P1(t) = … = Pn(t) решаются задачи оптимизации (в различных постановках).
1. Определение числа n элементов системы, при котором вероятность отказа (ВО) системы Qс(t) не будет превосходить заданной Qс.
Поскольку Qс(t) = Qin(t), то условие задачи
Qin(t) Qс(t).
Из приведенного неравенства определяется минимально необходимое число элементов:
2. Определение надежности n элементов системы из условия, чтобы ВО не превышала заданную Qс.
Из условия Qin(t)Qс(t), находим ВО I и ВБР Pi(t) 1 - Qi(t).
Надежность систем с ограничением по нагрузке
Для некоторых систем условия работы таковы, что для работоспособности системы необходимо, чтобы по меньшей мере r элементов из n были работоспособны.
Т. е. число необходимых рабочих элементов – r, резервных – (n - r).
Отказ системы наступает при условии отказа (n – r + 1) элементов.
Если при изменении числа находящихся в работе элементов не наблюдается перегрузки, влияющей на возможность возникновения отказа, то отказы можно считать независимыми.
ВБР такой системы определяется с помощью биномиального распределения.
Для системы, сохраняющей работоспособность при функционировании r из n элементов, ВБР определяется как сумма r, (r + 1), … , (n – r) элементов:
где
Для идентичных элементов с экспоненциальной наработкой Pi(t) = exp(- i t),i = const (1 = … = i = … = n) ВБР:
Зависимость надежности системы от кратности резервирования
При целой кратности k (r = 1, n = k + 1) для системы с идентичными элементами и экспоненциальной наработкой до отказа:
Полагая элементы системы высоконадежными, т. е. t << 1 (P(t) 1 - t), получены упрощенные выражения:
· ВБР системы:
Pс(t) 1 – ( t))k+1;
· ПРО системы:
fс(t) (k + 1) k+1 tk;
· ИО системы:
но поскольку t << 1, то (t)k+1 0, поэтому ИО системы:
с (t) (k + 1) k+1 tk = n · n · tn-1,
где n = k + 1.
Полученное выражение с (t) свидетельствует о том, что при = const элементов, ИО системы зависит от наработки, т. е. распределение наработки до отказа системы не подчиняется экспоненциальному распределению.
На рис. 1 приведены зависимости изменения Pс( t) и с / ( t) из которых следует, что:
· увеличение кратности резервирования k повышает надежность (Pс возрастает, с / 0);
· резервирование наиболее эффективно на начальном участке работы системы (при t T0), т. е.
Рис. 1
Из графика с / ( t) видно, что при t = (3 4)T0 = (34) 1/ , сприближается к .
Поскольку средняя наработка до отказа системы при идентичных элементах ( = const):
то выигрыш в средней наработке T0с снижается по мере увеличения кратности резервирования.
Например,
при k = 1
T0с = T0 ·(1 + 1/2) = 3/2T0
(увеличение T0с на 50%);
при k = 2
T0с= T0 ·(1 + 1/2 + 1/3) = 11/6T0
(увеличение T0с на 83%);
при k = 3
T0с= 25/12T0
(увеличение T0сна 108%).
Таким образом, динамика роста T0ссоставляет: 50, 33 и 25%, т. е. уменьшается.
i t),
), T0с 
1/ 
Qс(t).
1 - Qi(t).
4)T0 = (3