Критерий является геометрической интерпретацией принципа аргумента. Замена в характеристическом полиноме (14.1) s = iω приводит к комплексному полиному, называемому функцией Михайлова.
где U(ω) = an − an−2ω2 + an−4ω4 + ..., V(ω) = ω(an−1 − an−3ω2 + an−5ω4 −...) называют соответственно вещественной и мнимой функциями Михайлова D(ω) - модуль D(iω); j(w) − фаза D(iω).
При изменении частоты конец вектора D(iω) будет описывать некоторую кривую, называемую годографом Михайлова, в комплексной плоскости.
При изменении частоты от 0 до ∞ угол поворота вектора D вокруг начала координат равен (15.6), отсюда число правых корней полинома
, (15.8)
если m = 0, то
. (15.9)
Выражение (15.9) является необходимым, но недостаточны условием устойчивости. Для того, чтобы получить необходимое и достаточное условие устойчивости, необходимо исключить корни, лежащие на мнимой оси, то есть должно выполняться условие:
D(iw) ¹ 0. (15.10)
Формулы (15.9 – 15.10) представляют собой математическое выражение критерия устойчивости Михайлова. Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова D(iω)при изменении ω от 0 до ∞ повернулся, не проходя через нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол pn/2, где n –порядок характеристического уравнения.
Для устойчивых систем годограф Михайлова начинается при ω = 0 на вещественной полуоси, D(0) = an; с ростом частоты фаза монотонно возрастает и вектор поворачивается только против часовой стрелки. В связи с этим критерий устойчивости можно сформулировать следующим образом:
Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до ∞, начинаясь на вещественной положительной полуоси, обходил против часовой стрелки последовательно n квадрантов координатной плоскости, где n – порядок характеристического уравнения. Годограф Михайлова для устойчивых систем имеет плавную спиралевидную форму и уходит в бесконечность в том квадранте, номер которого равен степени характеристического уравнения (рис. 15.2).
Анализируя годограф Михайлова, можно установить следующее: когда годограф Михайлова последовательно проходит квадранты, то вещественная и мнимая оси пересекаются поочередно. В точках пересечения с вещественной осью обращается в нуль мнимая функция V(ω), а в точках пересечения кривой с мнимой осью действительная функция U(ω).
Рис. 15.2. Годограф Михайлова
Частоты, при которых происходит пересечение осей, определяются корнями уравнений
(15.11)
Точки пересечения кривых U(ω) и V(ω) с осью абсцисс дают значение корней уравнений (рис. 15.3) для U(ω) = 0: ω1, ω3, ω5, …; для V(ω) = 0: ω0, ω2, ω4,… В этом случае для устойчивой системы обязательно соблюдение неравенства ω0 < ω1 < ω2 < ω3 < ω4 < ...
Рис. 15.3. Действительная и мнимая составляющие функции Михайлова:
а) устойчивая система; б) неустойчивая система
Формулировка критерия устойчивости: Система автоматического управления будет устойчива тогда, когда вещественная U(ω) и мнимая V(ω) функции Михайлова, приравненные нулю, имеют все действительные и перемежающиеся корни, причем общее число этих корней равно порядку характеристического уравнения n, и при ω = 0 удовлетворяется условие U(0) >0; V'(0) > 0.
Библиографическй список:
1. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. –3-е изд-е, испр. –М.: Наука, 1975. –768 с.
2. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: учеб. пособие для втузов / Е.П. Попов. –М.: Наука, 1989. –304 с.
3. Лазарева Т.Я. Основы теории автоматического управления: учеб. пособие / Т.Я. Лазарева, Ю.Ф. Мартемьянов. –2-е изд., перераб. и доп. –Тамбов: Изд-во ТамбГТУ, 2004. –352 с.
4. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления: Учеб. пособие для вузов / А.А. Первозванский. –М.:Наука, 1986. –616 с.
Содержание:
1. Общая характеристика объектов и САУ 3
2. Принципы регулирования 6
3. Математический аппарат теории управления 10
4. Сигналы и спектры сигналов 14
5. Динамика систем 20
6. Передаточные и частотные функции 26
7. Типовые звенья 32
8. Статические типовые звенья 39
9. Основные способы соединения звеньев 46
10. Простейшие законы регулирования 54
11. Промышленные законы регулирования 58
12. Устойчивость линейных систем 62
13. Изображение движения в фазовом пространстве 66
, (15.8)
. (15.9)
(15.11)