Принцип аргумента

В основе частотных критериев устойчивости лежит следствие принципа аргумента. Пусть дан полином n-йстепени (14.1).

Этот полином в соответствии с теоремой Безу можно представить как

D(s) = a₀(s – s₁) (s – s₂)×...×(s – s_n), (15.1)

где s_j = α_j + iω_j – корни уравнения D(s) =0; j = 1, 2,..., n.

Каждый корень геометрически может быть изображен вектором, проведенным из начала координат к точке s_j (рис. 15.1а). Длина его равна модулю комплексного числа, а угол, образованный вектором с положительным направлением действительной оси, – аргументу или фазе комплексного числа.

Величины (s – s_j) геометрически изображаются вектором, проведенным из точки s_j к произвольной точке s (рис. 15.1б). При s = iω

D(iω) = a₀(iω – s₁)×(iω – s₂) ... (iω – s_n) (15.2)

и концы всех векторов будут находиться на мнимой оси (рис. 15.1в).

Модуль и аргумент вектора D(iω)

|D(iw)| = a₀|iw – s₁|×|iw – s₂|×…×|iw – s_n|, (15.3)

Arg D(iω) = Arg(iω – s₁) + Arg(iω – s₂)+ … + Arg(iω – s_n). (15.4)

Если принять за положительное направление отсчета углов вращения против часовой стрелки, то при изменении частоты от –∞ до +∞ каждый элементарный вектор поворачивается на угол π,если корень расположен слева от мнимой оси, и на –π, если корень расположен справа (рис. 15.1г).

Если полином имеет m правых корней и (n – m) левых, то при изменении ω от –∞ до +∞ изменение аргумента вектора D(iω) равно сумме углов поворота вектора (iω – s_j)

. (15.5)

Рис. 15.1. Принцип аргумента

Изменение аргумента D(iω) при изменении частоты от –∞ до +∞ равно разности между числом левых и правых корней уравнения D(s) = 0, умноженной на π.При изменении частоты ω от 0 до ∞ изменение аргумента вектора D(iω)будет вдвое меньше

. (15.6)

Это правило положено в основу всех частотных критериев.