Колебательное звено

Колебательное звено является звеном второго порядка и описывается дифференциальным уравнением второго порядка

. (8.22)

Характеристическое уравнение звена должно иметь пару комплексно сопряженных корней, а это будет только в том случае, если Т_к/Т_д<2. Если же Т_к/Т_д>2, то корни уравнения – действительные и звено будет апериодическим звеном второго порядка.

Передаточная функция

. (8.23)

Частотные характеристики изображены на рис. 8.8:

АФХ: .(8.24)

АЧХ: ; (8.25)

ФЧХ: . (8.26)

Рис. 8.8 Частотные характеристики колебательного звена: а) АЧХ; б) ФЧХ; в) АФХ

При больших значениях Т_к/Т_д на графике АЧХ появляется максимум и при T_д ® 0 АЧХ терпит разрыв второго рода при значении w_р=1/Т_к

Графики переходных функций изображены на рис. 8.9.

Переходная функция h(t)=k[1+Ae^−atsin(wt−b)], (8.27)

где .

Весовая функция

w(t)=−Aαe^−αtsin(ωt−β)+Aωe^−αtcos(ωt−β)=Ae^−αt(cos(ωt−β)−α×sin(ωt−β)). (8.28)

Частным случаем колебательного звена является консервативное звено, у которого характеристическое уравнение имеет только мнимые корни. В этом случае передаточная функция звена преобразуется к виду

. (8.29)

Рис. 8.9. Переходные характеристики колебательного звена:

а - переходная функция; б - весовая функция

Частотные характеристики (рис. 8.10):

АФХ: ; (8.30)

АЧХ: ; (8.31)

ФЧХ: (8.32)

Годограф АФХ расположен на действительной полуоси комплексной плоскости.

Рис. 8.11. Частотные характеристики консервативного звена: а) АЧХ; б) ФЧХ; в) АФХ

Временные характеристики представляют собой гармонические колебания. Частота w_p=1/T называется резонансной частотой (рис. 8.12).

Переходная функция: . (8.33)

Весовая функция: . (8.34)

Рис. 8.12 Функции консервативного звена: а) переходная; б) весовая