Основным математическим аппаратом, который используют в теории автоматического управления, является операционный метод, в основе которого лежит функциональное преобразование Лапласа.
Прямым преобразованием Лапласа называется преобразование функции x(t) переменной t в функцию х(s)другой переменной s при помощи оператора, определяемого соотношением
, (3.1)
где x(t) – оригинал функции; x(s) – изображение по Лапласу функции x(t); s – комплексная переменная s = α + iω.
Обратное преобразование Лапласа, позволяющее по изображению найти оригинал, определяется соотношением
(3.2)
где с – абсцисса сходимости функции x(s).
Широкое применение преобразования Лапласа обусловлено тем, что изображение некоторых функций оказывается проще их оригиналов и ряд операций, таких как интегрирование, дифференцирование над изображениями проще, чем соответствующие операции над оригиналами.
Преобразование Лапласа обладает разнообразными свойствами.
1 Свойство линейности: для любых действительных или комплексных постоянных А и В линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбинация изображений
Ax1(t) + Bx2(t) ® Ax1(s) + Bx2(s), (3.3)
где x1(t) ® x1(s); x2(t) ® x2(s).
2. Свойство подобия: умножение аргумента оригинала на любое постоянное положительное число λ приводит к делению аргумента изображения x(s) на то же число λ:
(3.4)
3. Свойство затухания: умножение оригинала на функцию eat, где а — любое действительное или комплексное число, влечет за собой смещение независимой переменной s:
eatx(t) ® x(s – a). (3.5)
4. Свойство запаздывания: для любого постоянного τ > 0
x(t – t) ® e-stx(s). (3.6)
5. Свойство дифференцирования по параметру: если при любом значении r оригиналу x(t, r) соответствует изображение х(s, r), то
. (3.7)
6. Свойство дифференцирования оригинала: если x(t) ® x(s), то
x¢(t) ® sx(s) – x(0), (3.8)
т.е. дифференцирование оригинала сводится к умножению на s его изображения и вычитанию х(0), если х(0) = 0, то x¢(t) ® sx(t). Применяя преобразование необходимое количество раз, получают
x(n)(t) ® s(n)x(s) – s(n-1)x(0) – … – x(0). (3.9)
Если x(0) = sx(0) = … = s(n-1)x(0), то
x(n)(t) ® s(n)x(s), (3.10)
т.е. при нулевых начальных значениях n-кратное дифференцирование оригинала сводится к умножению на sn его изображения.
7. Свойство интегрирования оригинала: интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на s:
. (3.11)
8. Свойство дифференцирования изображения: дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на (−t):
−tx(t) ® x¢(s). (3.12)
9. Свойство интегрирования изображения: интегрированию изображения в пределах от s до ∞ соответствует деление оригинала на t, т.е. если интеграл сходится, то
. (3.13)
10. Свойство умножения изображения: если x(t) ® x(s), y(t) ® y(s), то свертке функций
(3.14)
соответствует произведение изображений
x(t)*y(t) ® x(s)y(s). (3.15)
11. Свойство умножения оригиналов: произведению оригиналов соответствует свертка изображений