Преобразование Лапласа

Основным математическим аппаратом, который используют в теории автоматического управления, является операционный метод, в основе которого лежит функциональное преобразование Лапласа.

Прямым преобразованием Лапласа называется преобразование функции x(t) переменной t в функцию х(s)другой переменной s при помощи оператора, определяемого соотношением

, (3.1)

где x(t) – оригинал функции; x(s) – изображение по Лапласу функции x(t); s – комплексная переменная s = α + iω.

Обратное преобразование Лапласа, позволяющее по изображению найти оригинал, определяется соотношением

(3.2)

где с – абсцисса сходимости функции x(s).

Широкое применение преобразования Лапласа обусловлено тем, что изображение некоторых функций оказывается проще их оригиналов и ряд операций, таких как интегрирование, дифференцирование над изображениями проще, чем соответствующие операции над оригиналами.

Преобразование Лапласа обладает разнообразными свойствами.

1 Свойство линейности: для любых действительных или комплексных постоянных А и В линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбинация изображений

Ax₁(t) + Bx₂(t) ® Ax₁(s) + Bx₂(s), (3.3)

где x₁(t) ® x₁(s); x₂(t) ® x₂(s).

2. Свойство подобия: умножение аргумента оригинала на любое постоянное положительное число λ приводит к делению аргумента изображения x(s) на то же число λ:

(3.4)

3. Свойство затухания: умножение оригинала на функцию e^at, где а — любое действительное или комплексное число, влечет за собой смещение независимой переменной s:

e^atx(t) ® x(s – a). (3.5)

4. Свойство запаздывания: для любого постоянного τ > 0

x(t – t) ® e^-stx(s). (3.6)

5. Свойство дифференцирования по параметру: если при любом значении r оригиналу x(t, r) соответствует изображение х(s, r), то

. (3.7)

6. Свойство дифференцирования оригинала: если x(t) ® x(s), то

x¢(t) ® sx(s) – x(0), (3.8)

т.е. дифференцирование оригинала сводится к умножению на s его изображения и вычитанию х(0), если х(0) = 0, то x¢(t) ® sx(t). Применяя преобразование необходимое количество раз, получают

x⁽ⁿ⁾(t) ® s⁽ⁿ⁾x(s) – s^(n-1)x(0) – … – x(0). (3.9)

Если x(0) = sx(0) = … = s^(n-1)x(0), то

x⁽ⁿ⁾(t) ® s⁽ⁿ⁾x(s), (3.10)

т.е. при нулевых начальных значениях n-кратное дифференцирование оригинала сводится к умножению на sⁿ его изображения.

7. Свойство интегрирования оригинала: интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на s:

. (3.11)

8. Свойство дифференцирования изображения: дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на (−t):

−tx(t) ® x¢(s). (3.12)

9. Свойство интегрирования изображения: интегрированию изображения в пределах от s до ∞ соответствует деление оригинала на t, т.е. если интеграл сходится, то

. (3.13)

10. Свойство умножения изображения: если x(t) ® x(s), y(t) ® y(s), то свертке функций

(3.14)

соответствует произведение изображений

x(t)*y(t) ® x(s)y(s). (3.15)

11. Свойство умножения оригиналов: произведению оригиналов соответствует свертка изображений

, (3.16)

где γ = Re z.

12. Свойства предельных значений:

; (3.17)

. (3.18)