Постановка задачи

Пусть исследуется некоторая замкнутая СМО с ограниченным количеством требований в системе, т.е. обслуженные требования вновь возвращаются в систему обслуживания (например, экскаватор или автосамосвал). Интенсивность поступления одного требования в систему известна и равна . Интенсивность обслуживания требований известна и равна .

Число требований, нуждающихся в обслуживании, равно n. Требуется определить основные характеристики системы:

1. вероятность того, что в системе имеется требований ;

2. вероятность простоя канала обслуживания ;

3. среднее число требований, находящихся в очереди ;

4. среднее число требований, находящихся в системе ;

5. среднее время ожидания требования в очереди ;

6. среднее время ожидания требования в системе .

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей

Состояние системы будем связывать с числом требований, находящихся в системе. При этом возможны два состояния системы:

- число требований, поступивших в систему, , т.е. канал обслуживания простаивает;

- число требований, поступивших в систему .

Нарисуем размеченный граф состояний однокональной замкнутой СМО с ожиданием:

2λ

… …

Рисунок 6.4 – Размеченный граф состояний одноканальной замкнутой СМО с ожиданием

Построение математической модели

В соответствии с размеченным графом состояний и используя мнемоническое правило, запишем систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний:

Исследование и решение математической модели

Ограничимся исследованием установившегося режима работы системы. Тогда .

Вместо системы обыкновенных дифференциальных уравнений получаем систему алгебраических уравнений:

Для нетрудно получить рекуррентную формулу: при

при

при

Вероятность того, что в системе находится требований, составит

.

Используя равенство , можно получить выражение для .

Вероятность простоя канала обслуживания P₀= .

Среднее число требований, находящихся в очереди:

.

Среднее число требований, находящихся в системе:

.

Среднее время ожидания требования в очереди:

.

Среднее время ожидания требования в системе:

.

Как можно заметить, определение основных характеристик одноканальных СМО требует большой вычислительной работы, потому целесообразно использовать ЭВМ.

В задачах анализа многоканальных СМО получаются ещё более сложные формулы для вычисления аналогичных характеристик, мы их рассматривать не будем.

Контрольные вопросы

1. Понятие систем массового обслуживания. Задачи анализа и синтеза СМО.

2. Классификация СМО.

3. Основные показатели функционирования СМО.

4. Задачи анализа одноканальных СМО, общее представление.

5. Задача анализа детерминированной одноканальной СМО.

6. Задача анализа разомкнутой СМО с ожиданием (потоки требований пуассоновские).

7. Задача анализа замкнутой СМО с ожиданием (потоки требований пуассоновские).

8. Мнемоническое правило построения системы обыкновенных дифференциальных уравнений для нахождения вероятностей состояний на основе размеченного графа.