Построение математической модели

Если составлен размеченный граф состояний, то для построения математической модели, т.е. для составления системы обыкновенных дифференциальных уравнений вероятностей состояний, рекомендуется использовать следующее мнемоническое правило:

Производная вероятности пребывания системы в состоянии n равна алгебраической сумме нескольких членов:

- число членов этой суммы равно числу стрелок на графе состояний системы, соединяющих состояние n с другими состояниями;

- если стрелка направлена в состояние n, то член берётся со знаком плюс;

- если стрелка направлена из состояния n, то со знаком минус;

- каждое слагаемое суммы равно произведению вероятности того состояния, из которого направлена стрелка, на интенсивность потока событий, переводящего систему по данной стрелке.

В соответствии с размеченным графом состояний, используя мнемоническое правило, систему обыкновенных дифференциальных уравнений вероятностей состояний запишем так:

Исследование математической модели

Ограничимся исследованием установившегося режима работы разомкнутой одноканальной системы.

Тогда .

Вместо системы обыкновенных дифференциальных уравнений получаем систему алгебраических уравнений:

Используя полученную систему алгебраических уравнений, легко выразить вероятности состояний системы в виде некоторой рекуррентной формулы.

Из первого уравнения определяется вероятность наличия одного требования в системе

из второго уравнения – вероятность наличия двух требований в системе

.

Окончательно получим .

Аналогично проводятся преобразования для определения :

Окончательно получим и т.д.

Суммируя формулу суммы членов убывающей геометрической прогрессии, получаем

.

При отсюда имеем:

60 вероятность простоя канала обслуживания ;

61 вероятность того, что в системе находится требований

62 среднее число требований, находящихся в системе (или математическое ожидание):

Последняя скобка является производной от следующего выражения:

,

т.е. равна .

Окончательно имеем

- среднее число требований, находящихся в очереди:

;

- среднее время ожидания требования в системе, которое можно определить, зная среднее число требований, находящихся в системе:

.

Задача анализа замкнутой системы с ожиданием (потоки требований пуассоновские)