В качестве примера конкретной модели процесса управления рассмотрим модель распределения времени между овладением знаниями и развитием умений.
Любое знание состоит частично из «информации» («чистое знание») и частично из «умения» («знаю как»). Умение – это мастерство, это способность использовать имеющиеся у вас сведения для достижения своих целей; умение можно еще охарактеризовать как совокупность определенных навыков, в конечном счете, умение – это способность методически работать.
Пусть x(t) – объем сведений, накопленных учащимся к моменту времени t («чистое знание»), y(t) – объем накопленных умений: умений рассуждать, решать задачи, разбираться в излагаемом преподавателем материале;u(t) – доля времени, отведенного на накопление знаний в промежутке времени (t; t+dt).
Естественно считать, что увеличение x(t+dt) – x(t) объема знаний учащегося пропорционально потраченному на это времени u(t)dt и накопленным умениям y(t). Следовательно,
,
(3.1)
где коэффициент k1 > 0 зависит от индивидуальных особенностей учащегося.
Увеличение знаний за то же время пропорционально потраченному на это времени (1 - u(t))dt, имеющимся умениям y(t) и знаниям x(t). Следовательно,
(3.2)
Коэффициент k2 > 0 также зависит от индивидуальности. Учащийся тем быстрее приобретает умения, чем больше он уже знает и умеет. Тем быстрее усваивает знания, чем больше умеет. Но нельзя считать, что чем больше они запомнил, тем быстрее запоминает. На правую часть уравнения (1) влияют только приобретенные в прошлом активные знания, примененные при решении задач и перешедшие в умения. Отметим, что модель (3.1) – (3.2) имеет смысл применять на таких интервалах времени, чтобы, например, пять минут можно было считать бесконечно малой величиной.
Можно управлять процессом обучения, выбирая при каждом t значение функции u(t) из отрезка [0; 1]. Рассмотрим две задачи.
1. Как возможно быстрее достигнуть заданного уровня знаний x1 и умений y1? Другими словами, как за кратчайшее время перейти из точки фазовой плоскости (x0; y0) в точку (x1; y1)?
2. Как быстрее достичь заданного объема знаний, т.е. выйти на прямую x = x1?
Двойственная задача: за заданное время достигнуть как можно большего объема знаний. Оптимальные траектории движения для второй задачи и двойственной к ней совпадают (двойственность понимается в обычном для математического программирования смысле).
С помощью замены переменных z = k2x, w = k1k2y перейдем от системы (3.1) – (3.2) к более простой системе дифференциальных уравнений, не содержащей неизвестных коэффициентов:
.
(3.3)
(Описанная линейная замена переменных эквивалентна переходу к другим единицам измерения знаний и умений, своим для каждого учащегося.)
Решения задач 1 и 2, т.е. наилучший вид управления u(t), находятся с помощью математических методов оптимального управления, а именно, с помощью принципа максимума Л.С.Понтрягина. В задаче 1 для системы (3.3) из этого принципа следует, что быстрейшее движение может происходить либо по горизонтальным (u = 1) и вертикальным (u = 0) прямым, либо по особому решению - параболе w = z2 (u = 1/3). При движение начинается по вертикальной прямой, при - по горизонтальной, при - по параболе. По каждой из областей {z2 > w} и {z2 < w} проходит не более одного вертикального и одного горизонтального отрезка оптимальной траектории.
Используя теорему о регулярном синтезе, можно показать, что оптимальная траектория выглядит следующим образом. Сначала надо выйти на «магистраль» - добраться до параболы w = z2 по вертикальной (u= 0) или горизонтальной (u = 1) прямой. Затем пройти основную часть пути по магистрали (u = 1/3). Если конечная точка лежит под параболой, добраться до нее по горизонтали, сойдя с магистрали. Если она лежит над параболой, заключительный участок траектории является вертикальным отрезком. В частности, в случае оптимальная траектория такова. Сначала надо выйти на магистраль – добраться по вертикальной (u = 0) прямой до параболы. Затем двигаться по магистрали (u = 1/3) от точки до точки . Наконец, по горизонтали (u = 1) выйти в конечную точку.
В задаче 2 из семейства оптимальных траекторий, ведущих из начальной точки (z0; w0) в точки луча (z1; w1), w0<w1 < +∞, выбирается траектория, требующая минимального времени.
При z1< 2z0 оптимально w1 = z0 (z1 – z0), траектория состоит из вертикального и горизонтального отрезков. При z1 > 2z0 оптимально , траектория проходит по магистрали w = z2 от точки до точки . Чем большим объемом знаний z1 надо овладеть, тем большую долю времени надо двигаться по магистрали, отдавая при этом 2/3 времени увеличению умений и 1/3 времени – накоплению знаний.
Полученное для основного участка траектории оптимального обучения значение u = 1/3 можно интерпретировать приблизительно так: на одну лекцию должно приходиться два семинара, на 15 мин. объяснения 30 мин. решения задач. Результаты, полученные в математической модели, вполне соответствуют эмпирическим представлениям об оптимальной организации учебного процесса. Кроме того, модель определяет численные значения доли времени (1/3), идущей на повышение знаний, и доли материала (1/2), излагаемого на заключительных лекциях (без проработки на семинарах).
При движении по магистрали, т.е. в течение основного периода учебного процесса, оптимальное распределение времени между объяснениями и решением задач одно и то же для всех учащихся, независимо от индивидуальных коэффициентов k1 и k2. Этот факт устойчивости оптимального решения показывает возможность организации обучения, оптимального одновременно для всех учащихся. При этом время движения до выхода на магистраль зависит, естественно, от начального положения (x0; y0) и индивидуальных коэффициентов k1 и k2.
Таким образом, модель процесса управления обучением (3.1) – (3.2) позволила получить ряд практически полезных рекомендаций, в том числе выраженных в числовой форме. При этом не понадобилось уточнять способы измерения объемов знаний и умений, имеющихся у учащегося. Достаточно было согласиться с тем, что эти величины удовлетворяют качественным соотношениям, приводящим к уравнениям (3.1) и (3.2).
Практическим использованием многочисленных моделей процессов управления обычно занимаются информационно-аналитические подразделения, службы контроллинга, качества и надежности, маркетинга и др.
Контрольные вопросы
1. В чем сходство и различие словесных и математических моделей?
2. Согласны ли Вы с моделью лояльности, описанной в подразделе 3.1?
3. Опишите основные виды переменных в математических моделях процессов управления.
4. Какие виды математических моделей принятия решений обычно выделяют?
5. В чем суть методологии математического моделирования?
6. Как в соответствии с моделью подраздела 3.4 должны соотноситься затраты времени на накопление знаний и развитие умений во время основного периода обучения?
МОДУЛЬ 2. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В МЕНЕДЖМЕНТЕ
