Как уже отмечалось, математическая постановка задачи оптимизации предполагает наличие единственного критерия оптимальности в соответствии с которым и строится целевая функция. На практике же, содержательная постановка задачи требует, как правило, учесть нескольких критериев. Например требуется получить максимальную производительность оборудования при минимальной стоимости обработки и максимальном качестве продукции. Такие задачи, требующие учета нескольких критериев, называются многокритериальными оптимизационными задачами.
Рассмотрим один из способов уменьшения числа критериев до одного. Допустим, что имеется несколько, например четыре критерия, причем по условиям задачи первый критерий необходимо максимизировать, второй- и минимизировать, а четвертый максимизировать: Выберем из этих четырех критериев тот, который является, с нашей точки зрения, важнейшим. Пусть этот критерий, будет, например, критерий . Далее задача решается по этому единственному важнейшему критерию, а требования обратить в max или min остальные критерии учитывается соответствующими ограничениями:
где - некоторые предельно – допустимые значения соответствующих показателей.
Таким образом задача сведена к обычной задаче математического программирования.
Рассмотрим еще один способ решения многокритериальных задач- метод последовательных уступок.
Допустим что все частные критерии проранжированы и пронумерованы в порядке убывания их важности. Пусть первый критерий необходимо максимизировать, второй- и минимизировать, а четвертый максимизировать:
Сначала задачу решают только по 1-му, самому важному критерию W1, в результате отыскивают его max значение w1max. далее решают на сколько можно отступить от этого найденного max значения, чтобы ценной этой уступки обратить в min W2. На II-м этапе решается задача на min W2 при условии W1w1max-W1, где W1 – допустимая уступка по I критерию. Далее аналогично , назначается допустимая уступкаW2 по II критерию за счёт чего при решении следующей оптимизационной задачи отыскивается min W3 и т.д.
Рассмотрим некоторые другие способы уменьшения числа критериев (их называют способы свёртки критериев).Основная идея этих способов заключается в формировании некоторого обобщенного критерия , представляющего собой функцию от частных критериев . Если все частные критерии имеют одинаковые размерности и диапазоны изменения, то обобщенный критерий можно записать в виде дроби, числитель которой представляет собой произведение всех частных критериев, которые надо обратить в максимум, а знаменатель- произведение минимизируемых критериев. Далее задача решается по максимуму критерия .
Для предыдущего примера с четырьмя критериями обобщенный критерий имеет вид
=
Максимум обобщенного критерия будет достигаться при наибольших значениях частных критериев в числители и наименьших значениях в знаменателе дроби.
Основной недостаток рассмотренного подхода заключается в том, что при его использовании может быть достигнуто достаточно хорошее значение обобщенного критерия даже при неудовлетворительных значениях некоторых частных критериев за счет хороших показателей других оптимизируемых показателей. Например, низкое качество продукции может компенсироваться высокой производительностью.
Другой способ формирования совокупного критерия, в отличии от предыдущего, позволяет учесть важность каждого частного критерия и обобщенный критерий ищется в виде взвешенной суммы частных критериев
где- коэффициенты соответствуют весу (важности)
каждого критерия.
Коэффициенты берутся с плюсом, если соответствующий частный критерий должен обращаться в максимум, или с минусом, если требуется его минимизация.
Коэффициенты должны отвечать условиям нормированности- сумма их абсолютных величин должна быть равна 1. То есть должно выполняться условие:
Если частные критерии имеют различную размерность
то перед тем как использовать рассмотренные выше подходы необходимо перейти к безразмерным показателям . Переход осуществляется по формуле:
где соответственно максимальное и минимальное значение критерия .
Безразмерный показатель изменяется в пределах от 0 до 1. После нахождения безразмерных показателей выражение для обобщенного критерия оптимизации можно записать следующим образом:
Рассмотрим еще один подход к решению многокритериальных оптимизационных задач. Допустим, что как и в предыдущих примерах мы имеем четыре критерия оптимизации: Предположим, что для этой задачи найдено некоторое допустимое решение , для которого значения частных критериев равны, соответственно . Пусть нам удалось найти и другое допустимое решение , для которого значения частных критериев равны , причем
Это означает что второе решение лучше первого, так как оно лучше с точки зрения всех рассматриваемых критериев. Математически это записывается в виде соотношения
где символ означает «лучше».
Если выполняется соотношение ( ), то логично признать первое решение неперспективным и исключить его из дальнейшего рассмотрения. Предположим, что найдено третье допустимое решение , которое по всем критериям лучше второго:
Тогда из рассмотрения, как неперспективное можно исключить и третье решение. В результате последовательного применения этой процедуры в конечном итоге можно получить множество решений для которых переход от одного решения к другому не будет сопровождаться одновременным улучшением по всем критериям. Это множество называется множеством Парето. Как правило оно содержит значительно меньшее количество элементов, чем исходное множество допустимых решений. Поэтому окончательное лучшее решение может быть получено путем сравнения и анализа допустимых решений принадлежащих множеству Парето с использованием неформальных процедур и учетом требований содержательной постановки задачи.
Рассмотрим пример. Пусть имеются два критерия оптимальности- производительность оборудования и себестоимость обработки. Допустим, для простоты, что значения этих критериев зависят только от одного элемента решения- скорости подачи . .
На рис 14.1 показаны условные графики зависимости производительности и себестоимости от скорости подачи , причем скорость находится в области допустимых решений. Требуется определить, где находятся решения, принадлежащие множеству Парето.
Рис.14.1
Рассмотрим решения, лежащие левее точки , например решение и . Очевидно, решение лучше решения , так как для него производительность выше, а себестоимость- ниже. То есть оно лучше второго решения по обоим критериям одновременно. Аналогичное утверждение будет справедливо и для любых двух решений, находящихся левее точки . Следовательно все решения находящиеся левее точки могут быть исключены из рассмотрения как неперспективные. Оставшееся множество решений, которым соответствуют точки лежащие правее и образуют множество Парето. Здесь при переходе от любого решения к другому одновременного улучшения по обоим критериям происходить не будет и необходимо искать разумной компромисс с учетом важности каждого критерия.
Блок-схема алгоритма численного дифференцирования
(правостороннего приближения)
03.10.03 Студент Алексеев П.М. группа – 3
Контрольная работа №4
«Численное дифференцирование»
Дано:
xi =p/(3S); Dxi0 =p/(30S)
Функция y(x) = G* sin(S*x),
где G -номер группы; S - номер студента по журналу.
Рекомендуемое начальное приближение y`i0 = 200
Допустимая погрешность вычислений Е < 0,1
Найти:
Найти с заданной погрешностью левостороннее приближение производной функции в точке хi или y`(хi )= ?
Выберем из этих четырех критериев тот, который является, с нашей точки зрения, важнейшим. Пусть этот критерий, будет, например, критерий 
. Далее задача решается по этому единственному важнейшему критерию, а требования обратить в max или min остальные критерии учитывается соответствующими ограничениями:
- некоторые предельно – допустимые значения соответствующих показателей.
w1max-
W1, где 