Количество выпущенных столов должно быть не менее 180, а количество стульев не менее 200. Этим условиям будут соответствовать ограничения

≥ 180, (3.7)

и

≥ 200 (3.8)

Таким образом математическая модель задачи формирования оптимальной производственной программы мебельной фабрики имеет следующий вид:

Целевая функция:

W = 15+ 9+ 3→ max, (3.9)

ограничения:

0.25 + 0.18 + 0.08 ≤160 (3.10)

0.3 + 0.2 + 0.05 ≤180 (3.11)

0.35 + 0.2 + 0.09 ≤200 (3.12)

≥ 200 (3.13)

≥ 180 (3.14)

≥ 200 (3.15)

Совокупность выражений (3.9) –(3.15) это математическая модель задачи составления оптимальной производственной программы мебельной фабрики.

В рассмотренной модели целевая функция, а также функции в левых частях всех ограничений линейны по своим аргументам. По этой причине приведённая модель служит примером модели линейного программирования.

Задача составления оптимального плана поперечного раскроя бревен

Имеются брёвна длиной 6,5м которые необходимо раскроить на кряжи длиной L₁=2м, L₂=2,5м и L₃=1,8м. При том кряжей длиной L₁ необходимо получить в количестве не менее 300шт., L₂- в количестве не мене 250шт., а L₃- не менее 500шт.

Требуется так организовать процесс раскряжевки, чтобы отходы получаемые в результате поперечного раскроя бревен по длине, были минимальны. При этом количество вырабатываемых кряжей каждой длины должно быть не менее заданного.

Построим математическую модель для решения этой задачи. Из ее постановки следует, что в качестве критерия W оптимизации необходимо использовать величину отходов, которую следует минимизировать.

Далее следует определить элементы решения задачи. Для этого, предварительно,

Рассмотрим различные варианты (схемы раскроя) раскряжевки, которые могут быть использованы при поперечном раскрое бревен длиною 6,5 м. (См. Табл.3.2)

Табл.3.2

Вариант N1 предполагает, что из бревен длиною 6,5 м будут получать 3 кряжа, длинною по 2 м. При этом величина отходов по длине составит 0,5 м. При использовании 2-й схемы раскроя вырабатывается 1 кряж длиною 2,5 м и два кряжа длиною 1,8 м. При использовании этой схемы раскроя отходы по длине равны 0,4 м. Оставшиеся варианты также характеризуются величиной отходов, которые получаются в результате использования той или иной схемы раскроя и составом вырабатываемых кряжей различной длины.

Осталось выяснить сколько брёвен следует раскраивать по каждому из предложенных 8 вариантов. Эти переменные и примем в качестве элементов решения. То есть, обозначим через – количество брёвен раскраиваемых по I-у варианту, – по II-у, – по III-у и т. д., – по VIII-у.

Найдем целевую функцию задачи. При раскрое 1-го бревна по 1-й схеме раскроя отходы равны 0,5 м. При раскрое по этой схеме бревен количество отходов увеличится в раз и будет равно 0,5. При использовании второго варианта при раскрое одного бревна отходы составят 0,4 м, а при раскрое бревен - 0,4. Аналогичным образом можно найти отходы которые дает использование каждой схемы раскроя. Общая величина отходов будет равна сумме отходов которые получаются при использовании каждой схемы раскроя. Эту величину в соответствии с выбранным критерием оптимизации необходимо минимизировать. Поэтому целевая функция задачи имеет следующий вид:

0,5+ 0,4 + 1,5+ 0+ 0,9+ 1,1+ 0,2+ 0,7min (3.16)

Запишем ограничения по количеству вырабатываемых сортиментов которое требуется получить в соответствии с условиями задачи. В результате раскроя одного бревна по 1-й схеме раскроя мы получим 3 сортимента длиной 2 метра, а при раскрое бревен количество 2-х метровых сортиментов увеличится в раз и станет равным 3. Двухметровые кряжи будут получены и в результате раскряжовки по 4-й, 5-й , 7-й и 8 –й схеме раскроя. Количество вырабатываемых при этом 2-х метровых кряжей по каждой схеме указано в табл. 3.2. С учетом этого общее количество 2-х метровых кряжей вырабатываемых по всем схемам раскроя будет равно сумме 3+ 2+ 1+ 1+ 2. Эта сумма должна быть не меньше требуемого количества двухметровых кряжей. Поэтому ограничение на количество кряжей длиною 2 м запишется следующим образом:

3+ 2+ 1+ 1+ 2≥ 300 (3.17)

Аналогичным образом можно получить ограничения на количество вырабатываемых кряжей длиною 2,5 и 1,8 м:

1+ 2+ 1+ 1≥ 250, (3.18)

2+ 2+ 3+ 1+ 1≥ 500. (3.19)

Значения переменных полученных в результате решения задачи составления оптимального плана раскроя, могут быть только положительные числа или 0:

0 (3.20)

i =

(Запись i = означает, что индекс i изменяется от 1 до 8.) Построенная нами математическая модель также является примером модели линейного программирования.

Лекция 4

Задача о рациональной переработке сырья.

Пусть имеются два предприятия которые занимаются переработкой пиловочного сырья 3-х сортов: 1-го, 2-го и 3-го. В силу различных производственных условий норма выработки продукции на разных предприятиях различны. Обозначим через k₁₁; k₁₂; k₁₃ – коэффициенты объёмного выхода продукции на 1-м предприятии из пиловочного сырья I-го, II-го и III-го сорта, а через k₂₁;k₂₂;k₂₃ – выход продукции на 2-м предприятии из сырья I-го, II-го и III-го сорта соответственно.. Известны предельные мощности и 1-го и 2-го предприятия по переработки сырья, а также общее количество сырья каждого сорта: V₁; V₂; V₃.

Требуется определить, какое количество сырья каждого сорта следует подавать на каждое предприятие, чтобы получить максимальный выход продукции.

При этом необходимо выполнение следующих условий:

1. Общий объем сырья, перерабатываемого на каждом предприятии не должен превышать его предельной мощности.

2. Количество сырья каждого сорта, перерабатываемого на обоих предприятиях, не должно превышать имеющихся запасов сырья данного сорта.

Как следует из постановки задачи ее следует решать по критерию максимального выхода продукции.

Обозначим через ; ; – объемы сырья соответственно I, II и III сорта, поступающие на I-е предприятие, а через ; ;

объемы сырья I, II и III сорта, которое поступает на II-е предприятие.

Количество продукции, которая будет получена на 1-м предприятии из сырья I –го сорта будет равно произведению , а из сырья II-го и III-го сортов - и , соответственно. Аналогично, количество продукции которая будет получена на 2-м предприятии из сырья I-го, II-го и III-го будет равно , и . Общий объем получаемой продукции будет равен сумме + + + + + , для которой требуется найти максимум. Это выражение является целевой функцией W модели:

W = + + + + + → max (4.1)

Перейдем к построению ограничений модели. Количество сырья, перерабатываемого на I-м предприятии равно сумме + +

Это количество не должно превышать предельной мощности первого предприятия:

+ + ≤ (4.2)

Аналогичным образом можно записать ограничение по предельной мощности и для второго предприятия

+ + ≤ (4.3)

Следующая группа ограничений – это ограничения по запасам сырья. Общее количество сырья I-го сорта, поставляемого на 1-е и 2-е предприятие, равно сумме + и не должно превышать имеющегося запаса сырья I-го сорта . Общее количество сырья II-го сорта, поставляемого на 1-е и 2-е предприятие, равно сумме + и не должно превышать имеющегося запаса сырья II-го сорта , а общее количество + сырья III-го сорта - . Следовательно, имеем группу из трех ограничений по запасам сырья каждого сорта:

+ ≤ (4.4)

+ ≤ (4.5)

+ ≤ (4.6)

Кроме того в модели необходимо учесть условия неотрицательности элементов решения:

(4.7)

Построенная модель также является моделью задачи линейного программирования.