Представление чисел

Цифровые схемы способны обрабатывать только двоичные данные, поэтому приходится переводить числа из привычной десятичной системы счисления в двоичную, чтобы иметь возможность представлять числа посредством логических переменных, сами числа должны отображаться в виде последовательности двоичных чисел, то есть способных принимать только два значения. Двоичную цифру называют битом. Существует особая двоичная форма представления чисел с помощью двоичных знаков (двоичная система счисления), в которой разряды числа упорядочены по возрастающей степени числа 2. При этом цифра 1 отождествляется с логической единицей, а цифра 0 – с логическим нулем. Будем обозначать строчными буквами логическую переменную, характеризующую отдельное знакоместо в числе, а прописными буквами – все число. Тогда для представления числа из N разрядов в двоичном виде можно записать:

Разумеется, следует всегда четко разграничивать вычислительные операции с числами и составление функций из логических переменных. Еще раз поясним это различие на примере. Рассчитаем выражение 1 + 1. Полагая, что знак (+) обозначает сложение в десятичной системе счисления, получим соотношение:

1 + 1 = 2.

Сложение в двоичной системе дает

1 + 1 = 10₂ (читается: единица–нуль).

Если полагать, что знак (+) означает дизъюнкцию логических переменных, находим:

1 + 1 = 1.

5.6.1. Положительные целые числа в двоичном коде

Самым простым средством представления двоичных чисел служит двоичный код.

Разряды упорядочены по возрастанию степени числа 2.

В соответствии с десятичной системой просто записывают последовательность цифр

{z_N–1…z₀} и мысленно складывают соответствующие степени числа 2.

Пример.

5.6.2. Восьмеричный код

Очевидно, двоичный код воспринимается с трудом. Поэтому пользуются сокращенной формой записи, при которой каждые три разряда двоичного кода сводятся к одной цифре, а значение такого 3-разрядного двоичного числа записывается в десятичном виде. Поскольку соответствующие числа упорядочены по возрастанию степеней 2³ = 8, такой код называют восьмеричным.

Пример.

5.6.3. Шестнадцатеричный код

Еще один распространенный способ сокращенной записи состоит в том, чтобы сводить к одному числу по четыре двоичных разряда. В таком случае возникающие числа упорядочиваются по возрастанию степени числа 2⁴ = 16, в силу чего код получил название шестнадцатеричного. В каждом разряде числа могут принимать значения от 0 до 15, но для этого десятичных цифр уже недостаточно, и потому цифры от 10 до 15 отображаются символами от A до F.

Пример.