Напряжения в поперечном сечении

Опыты показывают, что если на поверхности бруса круглого сечения нанести прямоугольную сетку, а на торцевой поверхности нанести радиальные линии (рис. 5.4), то после деформации кручения окажется, что:

а)все образующие поворачиваются на один и тот же угол g, а прямоугольники, нанесенные на поверхности, превращаются в параллелограммы;

б) торцевые сечения остаются круглыми, плоскими, расстояния между ними не меняются;

в) каждое сечение поворачивается относительно другого на некоторыйугол j, называемый углом закручивания;

г) радиальные линии на торцевой поверхности остаются прямыми.

На основании этих наблюдений можно заключить, что может быть принята гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений), а в вале возникают условия чистого сдвига, в поперечных сечениях действуют только касательные напряжения, а нормальные напряжения равны нулю.

Рассмотрим поперечное сечение вала, расположенное на некотором расстоянии х от торцевого сечения, где М_к = T (рис. 5.4). На элементарной площадке dА будет действовать элементарная сила t×dА, момент относительно оси вала, создаваемый этой силой равен (t×dА)×r. Крутящий момент М_к, в сечении равен

. (5.1)

Для того чтобы проинтегрировать это выражение, необходимо знать закон распределения напряжений в сечении. Выделим из вала элементарное кольцо длиной dх и толщиной dr (рис. 5.5).

Правый торец элемента повернется относительно левого на угол dj, образующая СВ повернется на угол g и займет положение СВ₁. Угол g – относительный сдвиг. С одной стороны, из треугольника ОВВ₁ найдем:

.

С другой стороны, из треугольника СВВ₁ получим: .

Приравнивая правые части полученных выражений, имеем: .

На основании закона Гука при сдвиге:

. (5.2)

Подставив выражение (5.2) в (5.1), получим:

.

Откуда

. (5.3)

Подставим значение в выражение (5.2) и получим:

. (5.4)

Таким образом, касательные напряжения при кручении прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения до рассматриваемой точки и одинаковы в точках, одинаково удаленных от центра тяжести сечения (рис. 5.5). При r = 0 получим t = 0.

Наибольшие напряжения возникают в точках контура сечения при r = R:

.

Величина отношения полярного момента инерции к радиусу вала называется моментом сопротивления сечения при кручении, или полярным моментом сопротивления .

Для сплошного круглого сечения .

Для кольцевого сечения , где .

Тогда максимальные касательные напряжения равны

. (5.5)