Формула расчёта силы сопротивления для шара.

Рассматривают задачу о течении вязкой жидкости, вызываемом движением сферы радиуса а, перемещающейся прямолинейно и равномерно со скоростью U. Данная задача, очевидно, эквивалентна задаче об обтекании сферы радиусом а потоком вязкой жидкости, имеющим на бесконечности постоянную по величине и направлению ско­рость U.

В качестве числа Рейнольдса выбирают

Re

Если число Рейнольдса Re достаточно мало, т. е. для заданной жидкости либо скорость движения сферы достаточно мала, либо радиус сферы очень мал, то применяют приближённый метод решения задачи, а именно, при интегрировании уравнений движения отбрасывают в них инерционные члены.

Среди различных методов решения поставленной задачи одним из наиболее естественных, хотя, может быть, и несколько громоздким, является метод использования сферических координат, который применяется ниже. Очевидно, что, вводя сферические коорди­наты r, J, j, где r - радиус, J - широта j - долгота точки, вследствие симметрии движения относительно оси Ох, от которой отсчитываются углы J, имеют:

v_r = v_r(r, J), v_J = v_J(r, J), v_j = 0, p = p(r, J).

В таком случае, отбрасывая в уравнениях движения инерционные члены и полагая, что внешние силы отсутствуют, получают систему уравнений движения жидкости и уравнение неразрывности в сферических координатах:

(4.4)

Рассматривая, для определённости, задачу об обтекании покоя­щейся сферы, центр которой находится в начале координат, пото­ком вязкой жидкости, будем, очевидно, иметь следующие граничные условия:

v_r(a, J) = 0, v_J(a, J) = 0. (4.5)

Кроме того, считая, что на бесконечности тоток имеет направление, параллельное положительной оси Ох, имеют следующие условия на бесконечности:

v_r ® UCosJ, v_J ® -USinJ при r ® ¥. (4.6)

Вид граничных условий (4.5), (4.6) указывает на то, что решения основных уравнений (4.4) следует отыскивать в форме:

v_r(r, J) = f(r)CosJ, v_J(r, J) = -g(r)SinJ, p(r, J) = mh(r)CosJ. (4.7)

Рис 4.2

В самом деле, простое вычисление показывает, что для трёх функ­ций f(r), g(r), h(r) получают из (4.4) три обыкновенных дифференциальных уравнения:

h¢ = f¢¢ + 2f¢/r - 4(f - g)/r²,

h/r = g¢¢ + 2g¢/r + 2(f - g)/r², (4.8)

f¢ + 2(f - g)/r = 0.

- причём из (4.5) и ( 4.6) вытекают следующие граничные условия:

f(а) = 0, g(а) = 0, f(¥) = U, g(¥) = U. (4.9)

Чтобы решить систему (4.8) из третьего уравнения этой системы определяют g:

g = f¢r/2 + f. (4.10)

После чего из второго уравнения (4.8) с помощью простых дифферен­цирований находят h:

h = f¢¢¢r²/2 + 3r f¢¢ + 2 f¢. (4.11)

И, наконец, первое уравнение (4.8) доставляет дифференциальное уравнение для определения f

r³f^1У + 8r²f¢¢¢ + 8rf¢¢ - 8f¢ = 0. (4.12)

Но это последнее уравнение есть уравнение типа Эйлера и потому легко интегрируется; среди его частных решений всегда существуют решения вида

f = r^k. (4.13)

Уравнение (4.12) будет удовлетворяться, если k есть решение уравнения четвёртой степени

k (k - 1)(k - 2)(k - 3) + 8k (k - 1)(k - 2)+ 8k (k - 1) - 8k = 0,

т. е. k должно принимать одно из следующих четырёх значений:

k = 2, k = 0, k = - 1, k = -3. (4.14)

Таким образом, согласно (4.13), (4.14) частными интегралами уравнения (4.12) являются

а общим его интегралом будет

(4.15)

Уравнения (4.10) и (4.11) дают соответствующие значения g и h:

g = h = (4.16)

Постоянные А, В, С и D определяют из граничных условий (4.9), которые дают:

D = 0, C = U, B = -1,5Ua, A = 0,5Ua³. (4.17)

Подставляя (4.17) в (4.15), (4.16), приходят к следующему решению задачи:

(4.18)

Используя формулы расчёта составляющих тензора напряжений:

вычисляют силу, с которой поток воздействует на сферу.

На поверхности сферы v_r = 0, v_J = 0, а, следовательно, согласно (4.18), и ¶v_r/¶J = 0, ¶v_J/¶J = 0. Кроме того, из последнего уравнения (4.4) вытекает, что ¶v_r/¶r на поверхности сферы также обращается в нуль, и поэтому предыдущие формулы сильно упрощаются и дают для точек сферы следующие соотношения:

Поскольку направление равнодействующей всех сил, приложенных к элементам сферы, совпадает с направлением потока на бесконечности, то величина этой равнодействующей определяется формулой

или

F_c = 6pmUа. (4.19)

Полученное выражение, носящее называние формулы Стокса, играет фундаментальную роль в гидродинамике медленных движений вязкой несжимаемой жидкости.

Учитывая, что сила сопротивления, обусловленная давлением потока на сферу составляет

то отсюда вытекает, что её вклад в силу Стокса в два раза ниже, чем соответствующий вклад за счёт сил вязкости.