Лекция 2. Гидромеханические процессы. Гидростатика. Основное уравнение гидростатики

Основное уравнение гидростатики получают из дифференциаль­ных уравнений равновесия жидкости. Рассматривают равновесие жид­кости, находящейся в относительном покое. В этом случае на нее действуют массовые силы - силы тяжести и инерции - и поверх­ностные - сила гидростатического давления. Из всего объема жидкости выделяют элементарный параллелепипед объемом dV.

Ребра параллелепипеда dх, dу, dz располагают параллельно осям х, у, z (рис. 1.1). Среднее значение силы гидростатичес­кого давления, действующей на каждую грань со стороны окружа­ющей жидкости, равна произведению гидростатического давления р(х, у,z) на площадь грани параллелепипеда.

Соста­вляют сумму проекций на оси х, у, z всех сил, действующих на элемен­тарный параллелепипед. Если обозначить проекции на оси х, у, z всех, отнесенных к единице массы, массовых сил через X, Y, Z то, например, проек­ция объемных сил на ось х будет равна Q_x = Хdт, где масса жидкости dт = rdхdуdz, или dQ_x = Хrdхdуdz. Согласно условию равновесия сумма проекций всех сил, действующих на жидкость, в случае покоя равна нулю.

Поэтому сумма проекций сил на ось х

pdуdz - (p + )dуdz + Хrdхdуdz = 0, (3.1)

где pdуdz - сила гидростатического давления, действующего на левую грань; ¶p/¶x - изменение гидростатического давления в данной точке по оси х;- изменение гидростатического давления по длине ребра dx.

Тогда гидростатичес­кое давление на пра­вую грань будет равно

p + , а проекция средней силы гидроста­тического давления на ось х (p + )dydz.

После раскрытия скобок и сокращения на основе выражения (3.1) имеют

- + Хr = 0.

Аналогично, получают уравнения равновесия по осям y и z

- + Yr = 0,

- + Zr = 0.

Рис. 2.1

Или, в сово­купности

- + Хr = 0,

- + Yr = 0, (3.2)

- + Zr = 0.