Двухмерное смещение и однородные координаты.

До сих пор не обсуждалось смещение на плоскости точек и линий, это обусловлено тем, что вводить константу переноса внутрь структуры общей матрицы размера 2*2 не представленным возможным. Отметим, что эту трудность можно устроить за счет введения третьей компоненты в векторных точек.

В результате матрица преобразованная становиться размера 3*2 и имеет вид:

Это необходимо, поскольку число столбцов в матрице, описывающую точку должно равняться числу строк в матрице, преобразованной для выполнения операций перемноженной матрицы.

Отсюда видно, что константы m и n вызывают смещение в точке, относительно точки х с координатами (x,y). Поскольку матрица 3*2 не является квадратной, она не имеет обратной матрицы. Эту трудность можно обойти, заполнив матрицу преобразований до квадратной матрицы 3*3.

Например:

Заметим, что третья компонента векторов положения точек не изменяет, а использует эту матрицу преобразования, получим преобразованный вектор [x*y*1].

Добавление третьего элемента к вектору положения и третьего столбца смещения вектора положения, третий элемент можно рассматривать, как дополнительную координату вектора.

Вектор положения [xy 1],привоздействие на него матрицы 3*3 в общем случае может иметь вид:

[XYH]

Преобразование имеет место в трехмерном пространстве, и в нашем случае Н=1.

Если третий столбец в общем случае отличен от матрицы преобразования, то в результате преобразований точки [xy 1], мы получим [XYH], где Н отличное от 1.

Плоскость, в которой лежит преобразованный вектор, лежит в трехмерном пространстве.

Для того, чтобы получить обратное действие, то есть: