Выполняем расчет вероятностей, приведенных в пункте 3, для построения графиков вероятностей, иллюстрирующих четвертое свойство простейшего потока заявок.

Расчетные формулы представлены в таблице 4.1, результаты расчета – в таблице 4.2 и на рис. 4.4.

Таблица 4.1. Расчетные формулы

	A	B	C	D	E	F	G
		t		a
			=a2/24	=c2*b2	=exp(-d2)	=1-e2
		P(t)=	=*
			=c3/$c$2
			=d4+e4		=1-(c4+c6)
	t	a
		=$c$2*a8	=*
…

Примечания. 1. В ячейку С4 записана формула =$d$2^c3*exp(-$d$2)/ФАКТР(c3), в ячейку С8 - =$b8^c$3*exp(-$b8)/ФАКТР(c$3).

1. Стрелки и означают копирование в эти ячейки.

Таблица 4.2. Результаты расчета

Рис.4.4. Иллюстрация 4-го свойства простейшего потока

Анализ результатов.Полученные результаты позволяют сделать некоторые предварительные выводы. Вероятность того, что в течение 15 часов поступит:

¨ хотя бы один вызов

¨ один или два вызова

¨ более двух вызовов

Следовательно, через каждые 15 часов можно ожидать один-два вызова на выполнение аварийных работ. Более чем два вызова в среднем будут поступать в 13 случаях из ста. На основе этого можно предположить численный состав аварийной службы в данном случае, т.е. при плотности потока 2 вызова в сутки.

Пример 4.2.В качестве входящего потока рассматривается поток, состоящий из заявок на обслуживание станков. Станок остановился - поступила заявка на обслуживание. Обслуживание состоит в устранении причины остановки станка. Поток заявок на обслуживание станков является простейшим и имеет плотность =0,5 заявок в час. Рассчитать вероятность отказа в течение времени ч различного количества станков (.Построить график этой вероятности.

Размещение информации представлено в таблице 4.3. Результаты решения приведены на рис. 4.5 и в таблице 4.4.

Пример 4.3.Поток, состоящий из заявок на обслуживание станков, является простейшим. Среднее время обслуживания одного станка =12 мин. Определить вероятность того, что за время остановится не меньше двух станков. Рассчитать вероятность того, что за время остановится 2, 3, …, 6 станков. Плотность потока заявок на обслуживание взять из примера 4.2. Построить соответствующий график.

Размещение информации представлено в таблице 4.3. Результаты решения приведены на рис. 4.6 и в таблице 4.4.

Таблица 4.3. Размещение информации

	A	B	C	D	E	F	G	H	I
		t	a
	0,5		=a2*b2
	m=
	P(t)=	=*
									R7
									=1-i4
	Тоб,мин	Тоб, ч	a
		=a8/60	=a2*b8
	m
	P(Тоб)=	=*

Примечание.В ячейки В4 и В10 соответственно записаны формулы: =$c$2^b3*EXP(-$c$2)/ФАКТР(b3); =$c$8^b9*EXP(-$c$8)/ФАКТР(b9).

Таблица 4.4. Результаты расчета

Анализ результатов расчета.Наиболее вероятно, что после 10 часов работы потребуют обслуживание 4 или 5 станков (рис.4.5). Более 6 станков могут потребовать обслуживание в 24 случаях из ста, так как =0,2378. Вероятность того, что за 12 мин обслуживания остановится не меньше двух станков, равна т.е. вероятность эта мала. Следовательно, можно надеяться, что за это время остановится один станок или ни одного.

Рис.4.5. Вероятность остановки различного количества станков

в течение 10 часов

Рис.4.6. Вероятность того, что за12 мин времени обслуживания

остановится не меньше двух станков

4.4. Длительность или время обслуживания

Важной характеристикой СМО является время обслуживания одной заявки . Длительность или время обслуживания– это время, которое затрачивает канал на обслуживание одной заявки. Длительность обслуживания характеризует пропускную способность канала. Полной характеристикой времени обслуживания является закон распределения (функция распределения) т.е. вероятность того, что время обслуживания заявки будет меньше некоторого заданного значения

Даже в одной СМО время обслуживания заявки различными каналами может характеризоваться различными функциями распределения. Поэтому для простоты исследования считают, что СМО состоит из однотипных каналов обслуживания с единым законом распределения. В теоретических исследованиях и на практике большое значение имеет показательный закон распределения времени обслуживания, т.е. где - параметр показательного закона распределения. Параметр имеет простой физический смысл – величина, обратная - это математическое ожидание времени обслуживания т.е. параметр равен обратной величине среднего времени обслуживания одной заявки.

Показательным законом хорошо описываются те случаи, когда основная масса заявок обслуживается очень быстро, а значительные задержки в обслуживании наблюдаются редко.

В теории массового обслуживания часто пользуются допущением, что время обслуживания распределено по показательному закону. Это позволяет сильно упростить математический аппарат и получить простые аналитические формулы для определения пропускной способности системы.

4.5. Статистическое исследование входящего потока заявок

В теории массового обслуживания при анализе реальных потоков заявок и доказательстве близости их к простейшему потоку чаще всего исследуют не моменты появления заявок, а промежутки между этими моментами (рис.4.7).

Рис.4.7. Изображение моментов поступления заявок

и промежутков между ними

Признаком того, что исследуемый реальный поток заявок близок к простейшему, является распределение промежутков времени между моментами появления заявок на обслуживание и времени обслуживания по показательному закону распределения случайных величин. Данные наблюдений потока заявок и времени их обслуживания заносятся в ведомость, приведенную в таблице 4.5, в которой фиксируются: время начала наблюдений, моменты появления заявок, время начала и окончания обслуживания.

Таблица 4.5. Форма ведомости для проведения наблюдений

потоков, близких к простейшему

Момент появления заявки не всегда совпадает с началом обслуживания. В случае занятости обслуживающего аппарата (канала обслуживания) обслуживание начинается лишь после его освобождения.