Пропускная способность гауссова канала связи

Перейдем теперь к знакомству с основными результатами для систем с непрерывными сигналами. Наиболее известным выводом теории является формула для пропускной способности гауссова канала связи.

Гауссовым каналом называется канал связи, для которого выполняются следующие условия:

1. сигналы и шумы в нем непрерывны;

2. канал занимает ограниченную полосу частот шириной F;

3. шум n(t) в канале распределен нормально (»гауссов шум»);

4. спектр мощности шума равномерен в полосе частот канала и равен N единиц мощности на единицу полосы частот;

5. средняя мощность полезного сигнала фиксирована и равна P₀;

6. сигнал и шум статистически независимы;

7. принимаемый сигнал y(t) есть сумма полезного сигнала и шума, т.е. y(t) = x(t) + n(t) — «шум аддитивен».

Эти предположения позволяют вычислить пропускную способность гауссова канала. Во-первых, ограниченность полосы частот позволяет применить теорему отсчетов и вести рассуждения для каждого отсчета в отдельности. Далее, аддитивность шума и его независимость от X позволяют представить количество информации в Y об Х в виде

I(X,Y) = h(Y) - h(Y/X) = h(Y) - h(X+N/X) = h(Y) - h(N),

(8)

где h(N) — дифференциальная энтропия шума. Следовательно, пропускная способность такова:

C = max(h(y)-h(N))

Согласно условиям 3) и 4), имеем

h(N) = F⋅log(2⋅π&sdote⋅N⋅F).

(9)

В силу условий 4)-7) мощность принимаемого сигнала есть

M(Y²) = P₀ + n⋅F.

(10)

Максимум h(Y) при условии (10) достигается в случае нормального распределения, т.е.

max(h(y)) = F⋅log[2⋅πe(P₀) + N⋅F]

(11)

Так как шум имеет равномерный спектр (условие 4) и спектр смеси y(t) также равномерен (вследствие независимости отсчетов), то и полезный сигнал должен иметь равномерный спектр. Вводя спектральную плотность P = P₀/F и вычитая равенство (9) из (11), получаем известную формулу Шеннона-Таллера

C = F⋅log(1 + P/N).

Таким образом, мы не только определили пропускную способность, но и заодно показали, что она реализуется, если полезный сигнал закодировать так, чтобы его спектр был равномерным в представленной полосе частот, а распределение мгновенных значений — нормальным.

Дальнейшие обобщения связаны с рассмотрением «небелых» сигналов и шумов (предполагается зависимость от частоты их спектральных мощностей P(f) и N(f), а также с допущением случайности величины P (например, в случае замирания радиосигналов). Решение возникающих при этом задач можно найти в литературе по теории информации.