Если седловая точка отсутствует, то решение ищут в смешанных стратегиях.

Определить верхнюю и нижнюю цены игры и проверить есть ли седловая точка. Если седловая точка есть, то соответствующие ей стратегии будут оптимальными и цена совпадает с нижней (верхней) игрой.

Решение игр с помощью линейного программирования

Пусть дана платежная матрица

a₁₁p₁ + a₂₁p₂ +…a_m1p_m V,

………………………

a_1np₁ + a_2np₂ +…a_mnp_m V,

p₁ + p₂ + …p_m=1

Разделим все ограничения на V

a₁₁₊ a_21+…1,

…………..

a_1n + a_2n+ .. 1

Обозначим=x_i, тогда

a₁₁x₁ + a₂₁x₂ +…a_m1x_m 1,

………………………

a_1nx₁ + a_2nx₂ +…a_mnx_m 1,

Т.к. =x_i, и p₁ + p₂ + …p_m=1, то x₁ +x₂ +…x_m = , где V необходимо максимизировать, следовательно - минимизировать.

Для игрока В задача линейного программирования примет вид

a₁₁y₁ + a₁₂y₂ +…a_1ny_n 1,

………………………

a_m1y₁ + a_m2y₂ +…a_mny_n 1,

Целевая функция Z(y) = y₁ + y₂ …y_n стремится к максимуму.

Игры с природой

1. Критерий Лапласа опирается на принцип недостаточного ос­нования, согласно которому все состояния природы Si (i=1, 2..n) по­лагаются равновероятными. Таким образом, каждому состоянию Si соответствует вероятность qi определяемая по формуле

q_i= 1/n

Для принятия решения для каждого действия Rj вычисляется среднее арифметическое значение потерь:

M_j(R) =

V_ji – элементы платежной матрицы.

Среди Mj(R) выбирают минимальное значение, если матрица возможных результатов представле­на матрицей потерь (или максимальное, во всех других ситуациях), которое и будет соответствовать оптимальной стратегии:

W = min{Mj(R)}

Где W - значение параметра, соответствующее оптимальной стра­тегии.

2. Критерий Вальде.Рекомендуется применять максиминную стратегию:

max min a_ij

3. Критерий максимума.Он выбирается из условия

maxmaxa_ij

4.Критерий Гурвица.Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле

max(α min a_ij + (1- α)max a_ij), где α – степень оптимизма, которая изменяется в диапазоне (0, 1).

5. Критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе такой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Находится матрица рисков, элементы которой показывают, какой убыток понесет человек (фирма), если для каждого состояния природы он не выберет наилучшей стратегии.

Элемент матрицы рисков (r_ij) находится по формуле

r_ij = max a_ij – a_ij, где max a_ij – максимальный элемент в столбце исходной матрицы.

Оптимальная стратегия находится из выражения

min(max(max a_ij – a_ij)).

Определение производственной программы в условиях риска и неопределенности.

Фирма «Фармацевт» - производитель медикаментов и биомедицинских изделий в регионе. Известно, что пик спроса на некоторые лекарственные препараты приходится на летний период (сердце, анальгетики), на другие – на осенний и весенний периоды (простуда, витамины).

Затраты на 1 ус.ед. продукции за сентябрь – октябрь составили: по первой группе – 20 д.ед., по второй – 15 д.ед.

По данным наблюдений за несколько последних лет службой маркетинга фирмы установлено, что она может реализовать в течении рассматриваемых двух месяцев в условиях теплой погоды 3050 ус.ед. продукции первой группы и 1100 ус.ед. продукции второй группы; в условиях холодной погоды – 1525 ус.ед. продукции первой группы и 3690 ус.ед. продукции второй группы.

В связи с возможными изменениями погоды ставится задача – определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую максимальный доход от реализации при цене продажи 40 д.ед. за 1 ус.ед. продукции первой группы и 30 д.ед. – второй группы.

Решение.Фирма располагает двумя стратегиями:

А₁ – в этом году будет теплая погода;

А₂ – пгода будет холодная.