Обозначим через Ac множество всех синусоидальных сигналов:
Ac = {x(t) = Ac ⋅ cos(w⋅t + y)}
{9.1}
здесь R — множество всех положительных действительных чисел; А — амплитуда, w — круговая частота, y — фаза гармонического колебания.
В технических системах полезная информация может переноситься каким-нибудь одним параметром «гармонического» колебания. Конечно, при изменении этого параметра во времени колебание перестает быть гармоническим. Процесс изменения параметра колебания называется модуляцией, а выделение этого изменения в «чистом виде» — демодуляцией. Само колебание называется несущим. Различают амплитудную, частотную и фазовую модуляции в зависимости от того, на какой из параметров несущего колебания «накладывают» полезную информацию:
Необходимо отметить, что физический смысл модуляции сохраняется лишь в том случае, когда модулирующий сигнал является «медленно меняющимся» по сравнению с несущим колебанием. Только при этом условии можно говорить о гармоническом сигнале с переменной амплитудой, частотой либо фазой.
О сигналах из множества
Aэ = {x: ∫x(t)dt ≤ K < ∞}
говорят, что их энергия ограничена величиной К. Происхождение этого названия связано с тем, что если x(t) есть напряжение, то интеграл представляет собой энергию, выделяемую сигналом x(t) на единичном сопротивлении.
Фурье-преобразование X(f) сигнала x(t) называют его спектром:
X(f) = ∫x(t)⋅exp[j2πft]dt.
Физический смысл спектра состоит в том, что колебание x(t) представляется в виде суммы (в общем случае в виде интеграла) составляющих его гармонических колебаний с определенными амплитудами |X(f)| , частотами и соответствующими фазами. Между x(t) и X(f) имеется взаимно однозначное соответствие, так как
x(t) = ∫X(f)⋅exp[-j2πft]df.
Условием существования и обратимости Фурье-преобразования является ограниченность энергии сигнала (интегрируемость в квадрате функций x(t) и X(f)).
Если функция X(f) на оси f имеет ограниченный носитель F, то говорят, что сигнал x(t) имеет ограниченную полосу частот шириной F:
AF = {X(f) = ∫x(t)⋅exp[j2πft]dt = 0 для всех f ≥ |F|}
Мы излагаем только элементы теории сигналов, преследуя при этом ознакомительные цели. В то же время представляется интересным рассмотреть два основных ее аспекта, относящихся к свойствам непрерывных сигналов. Первый — это частотно-временная неопределенность сигналов.
Как мы уже отметили, сигнал x(t) и его спектр X(f) однозначно выражаются друг через друга. Следовательно, сигнал можно рассматривать в любом из этих эквивалентных представлений — временном или частотном. При этом масштабные параметры этих представлений связаны обратно пропорциональной зависимостью. Допустим, что изменили масштаб по оси времени в k раз (например, воспроизведем запись x(t) с другой скоростью) и найдем спектр функции x(k⋅t):
Xk(f) = ∫x(k⋅t)⋅exp[j2πft]dt = (1/k)⋅X(F/k)
Как видим, масштаб по частотной оси изменился в 1/k раз. Более того, из свойств преобразования Фурье следует, что сигналы с ограниченной длительностью имеют спектры неограниченной ширины, а сигналы с ограниченной полосой частот длятся бесконечно долго. Этот математический результат находится в противоречии с практикой: в реальности все сигналы конечны по длительности и ограничены по спектру. Тот факт, что аналитическая функция времени не может быть одновременно ограниченной и по длительности и по ширине спектра является, как видим, не свойством реальных сигналов, а свойством данной модели сигналов.
Говорить об одновременной ограниченности сигналов по времени и по спектру оказывается возможным при использовании энергетического критерия точности: сигнал считается имеющим конечную длительность Т, если в этом интервале времени сосредоточена основная часть всей энергии функции x(t). В то же время и ширина спектра F сигнала определяется как область частот, содержащая эту же часть всей энергии спектра X(f):
∫x2(t)dt = ∫|X(f)|df = μ∫x2(t)dt = μ∫|X(f)|df
Здесь величина M меньше единицы, хотя достаточно близка к ней, а величина 1-M характеризует косвенным образом точность, о которой шла речь.
Теперь можно говорить о том, какую «площадь» на плоскости «частота-время» занимает тот или иной сигнал. Если строго следовать теории Фурье-преобразований, то получим, что эта площадь для всех сигналов бесконечна. Но для большинства из них энергетический критерий позволит ограничить ее естественным образом.
Меняя форму сигнала, можно изменить и площадь на плоскости «время-частота», которую он занимает. Оказывается, что уменьшать эту площадь можно лишь до некоторого предела. Этот предел достигается на кривой, являющейся гармоническим колебанием, которое модулировано по амплитуде гауссовым импульсом. Существование предела, ниже которого нельзя сжать площадь сигнала, занимаемую им на плоскости «частота-время», и называется (по аналогии с принципом неопределенности в квантовой механике) принципом частотно-временной неопределенности сигналов:
