которое способом, аналогичным рассмотренному в примере А, можно привести к виду
dHi - Ψ(Hi)dHe = 0
Чтобы получить уравнение состояния, следует записать
df/dHi = 1 ⇒ f = Hi + k(He)
df/dHe = Ψ(Hi) ⇒ Ψ(Hi) = f(He)
Однако эти уравнения противоречивы и уравнение динамики следует рассматривать не как уравнение состояния, а как уравнение обмена информацией
dI = dHi - Ψ(Hi)dHe = 0
Следовательно, система не обменивается информацией с окружающей средой и развивается с постоянной структурной энтропией, что находится в соответствии с автономным характером системы.
В целом можно сказать, что «энтропийный» подход к анализу систем основан на трактовке системы, как некоторого единого целого. Отсюда следует, что понять сущность системы можно, лишь изучая ее взаимодействие с окружающей средой, т.е. с некой «вселенной». Взгляд на систему как на единое целое можно развить, введя понятие «связь». Весь комплекс связей и их характеристик приводит к понятию «структура» и «сложность» системы.
Рассмотрим теперь тип описания систем, который оказывается особенно эффективным при таких структурных исследованиях. Принято считать, что математическими абстракциями в основном оперирует теория множеств и отношений между их элементами. Поэтому целесообразно попытаться определить понятие системы в терминах этой теории. От конструктивного определения, естественно, можно потребовать, чтобы элементы соответствующих множеств и связывающие их отношения определялись спецификой конкретной системы. Тем не менее, если мы построим даже такое «специализированное» описание системы, оно даст весьма широкие возможности для анализа не только структуры системы, но и ее поведения в динамике.
В общем случае можно предположить, что существуют два конечных множества X и Y, элементы которых как-то связаны с системой. Это могут быть множества хищников и их жертв, множества типов автомобилей и дорог или множества предприятий службы быта и предлагаемых услуг. Для описания связи, существующей между двумя элементами (x,y) введем на прямом произведении X и Y бинарное отношение
λ, λ ∈ X×Y
Рассмотрим тривиальный пример, в котором X есть множество товаров, а Y — множество предприятий службы быта. Пусть для определенности
X = {x1(хлеб), x2(молоко), x3(марки), x4(обувь)}
Y = {y1(гастроном), y2(универмаг), y3(банк), y4(почта)}
Определим отношение A на прямом произведении X Y следующим образом:
Отношение A существует между xi и yj тогда и только тогда, когда xi можно купить в yj. В этом случае
λ = {(x1,y1), (x2,y1), (x3,y4), (x4,y2)}
Отношение A удобно представить матрицей инциденций:
λ
y1
y2
y3
y4
x1
x2
x3
x4
[Λ]ij = 1, (xi, yj) ∈ λ
С геометрической точки зрения отношение A определяет симплициальный комплекс KX(Y;A), в котором элементы множества Y рассматриваются как вершины, а элементы множества X являются симплексами. Так элемент x1(хлеб) является 0-симплесом, состоящим из вершины y1(гастроном). Если К не содержит r-симплексов (r ≥ 3), его можно изобразить на плоскости.Для предыдущего примера множество К имеет вид y1 y2 y4...
Хотя такая геометрическая структура не представляет особого интереса, тем не менее она все же показывает, что комплекс не содержит связных компонент и что вершина y3(банк) не играет никакой роли в анализе КX(Y;A).
Определив подходящие множества X и Y и отношение A, можно перейти еще к одному отношению. Это так называемое сопряженное отношение A*, которое получается, если поменять местами множества X и Y, и строится в соответствии с правилом: отношение A* существует между yi и xj тогда и только тогда, когда между xj и yi существует отношение A.
Матрица инциденций для A* получается транспонированием матрицы инциденций для A, т.е. A* = A×1. В результате получим геометрический комплекс КY(X;A*), в котором Х — множество вершин, а Y — множество симплексов. Тогда для рассмотренного выше примера комплекс имеет вид
который конечно же более содержателен, чем полностью несвязная структура КX(Y;): вершины x1(хлеб) и x2(молоко) связаны 1-симплексом (гастроном).
Продемонстрируем общность описания систем на языке множеств и бинарных отношений еще на одном примере.
