Тип математического описания, с которым чаще всего приходится иметь дело ученому-экспериментатору, — это связь «вход-выход». Во многих отношениях такое описание диаметрально противоположно частному, локальному описанию, поскольку оно не содержит деталей и единственным доступным источником информации является закономерность (отображение), связывающая выходы системы с ее входами. При этом ничего не известно о внутреннем механизме преобразования входов в выходы. По этой причине связь вход-выход часто называют «внешним описанием» системы в отличие от «внутреннего» (или локального) описания (см. рис.4.1).
Внутреннее и внешнее описания позволяют рассматривать систему как устройство, образующее входы и выходы в соответствии с правилами, определенными внутренним описанием. Иными словами, система является информационным процессом в некотором обобщенном смысле.
Рис.4.1 — Внешнее и внутреннее описание системы
Очевидно, что внутреннее описание говорит нам гораздо больше о способе действия системы, поскольку каждое такое описание порождает внешнее описание. Тем не менее построение модели системы часто связано с решением диаметрально противоположного вопроса: может ли внутренняя модель «объяснить» каждое внешнее описание? Ответом на этот вопрос по существу является решение так называемой «задачи реализации», которая представляет собой один из важнейших аспектов теории систем.
Наиболее «сырая» возможная ситуация, при которой возникает необходимость в описании типа «вход-выход», имеет место, когда мы располагаем всего лишь таблицей элементов (часто чисел), характеризующих реакцию (выходы) системы на различные внешние воздействия (входы). В этом случае внешнее описание системы эквивалентно отображению:
f: X → Y,
где через X обозначено множество возможных входов, а через Y множество возможных выходов системы. Как отмечалось во многих задачах (в частности, психологии, экономики и общественных наук) множества X и Y представляют собой конечный набор элементов, связь между которыми описывается с помощью функции f.
Предположим, что эксперт, изучающий «черный» ящик не имеет ни малейшего представления ни о его природе, ни о его содержимом. Вместе с тем эксперт может производить над ним некоторые действия (входы) и наблюдать их результаты (выходы). Предположим для определенности, что элементами множества X и множества Y являются показания различных измерительных приборов. Тогда описание эксперимента типа «вход-выход» могло бы быть таким:
Время
Вход
Выход
10:05
Эксперт не производит никаких действий
Прибор издает звуковой сигнал частотой 240 Гц
10:06
Эксперт нажал на кнопку «A»
Частота сигнала возросла до 480 Гц
10:07
Эксперт случайно нажал на кнопку «B»
Ящик нагрелся на 20°C и начал вибрировать
Этот довольно тривиальный пример показывает, что входы и выходы системы являются функциями времени, т.е. нельзя один и тот же эксперимент провести дважды! Единственное, что можно сделать, — это провести следующий эксперимент, который хотя и незначительно, но будет отличаться от предыдущего.
Менее тривиальный пример внешнего описания системы дает «бихевиористская» школа психологов, для которой характерным является проведение эксперимента и запись его результатов в формате «воздействие-реакция». По мнению представителей этой школы, такое внешнее описание системы дает максимум информации, которую вообще можно получить о ее структуре и функционировании. В то же время «познавательная» школа придерживается другой точки зрения, утверждая, что единственным удовлетворительным описанием системы может быть только внутренняя модель.
Основываясь на довольно общих результатах теории систем, можно показать, что это спор ни о чем. Обе школы, в сущности, утверждают одно и то же, и с точки зрения теории систем эти дебаты столь же содержательны, как и дискуссии относительно того, какая сторона монеты наиболее полно отражает ее стоимость.
В тех случаях, когда предположение конечномерности пространства состояний заменяется предположением о конечности числа его элементов, мы имеем дело с классом систем, анализ которых возможен с помощью чисто алгебраических методов. Важность такой замены трудно переоценить, поскольку совокупность систем с конечным числом состояний включает все последовательные цифровые вычислительные машины.
Математическое описание системы с конечным числом состояний включает:
· множество допустимых входов — X,
· множество допустимых выходов — Y,
· множество состояний — Z,
· функцию перехода — : Z X Z,
· функцию выхода — : Z X Y,
При этом предполагается, что множества X, Y и Z конечны. Это позволяет представить описание системы в виде:
[.] = (X, Y, Z, η σ).
В литературе такое представление часто называют схематическим.
Как отмечалось, ограничения вычислительного характера с неизбежностью вынуждают нас явно или неявно сводить каждую системную задачу к виду, указанному выше. Поэтому необходимы тщательное изучение и понимание алгебраической структуры подобных «конечных» описаний, которая основывается на теории конечных полугрупп. Рассмотрение этой теории выходит за рамки настоящего курса лекций.
