Численные методы.

Математические модели.

Основное требование, предъявляемое к математической модели, - адекватность рассматриваемому явлению, т.е. она должна достаточно точно (в рамках допустимых погрешностей) отражать характерные черты явления. Вместе с тем она должна обладать сравнительной простотой и доступностью исследования.

Пример. Пусть в начальный момент времени тело, нахо­дящееся на высоте , начинает двигаться вертикально вниз с началь­ной скоростью. Требуется найти закон движения тела, т. е. построить математическую модель, которая позволила бы математически описать данную задачу и определить параметры движения в любой момент вре­мени.

Прежде чем строить указанную модель, нужно принять некоторые допущения, если они не заданы. В частности, предположим, что данное тело обладает средней плотностью, значительно превышающей плот­ность воздуха, а его форма близка к шару. В этом случае можно пре­небречь сопротивлением воздуха и рассматривать свободное падение те­ла с учетом ускорения . Соответствующие соотношения для высоты и скорости в любой момент времени хорошо известны: , .

Эти формулы являются искомой математической моделью свободного падения тела. Область применения данной модели ограничена случаями, в которых можно пренебречь сопротивлением воздуха. Известно большое число математических моделей различных процессов или явлений. Укажем некоторые из них, широко используемые в механике. Модель идеального газа приве­ла к системе уравнений Эйлера, описывающей невязкие потоки газов. В гидродинамике широко известна модель на основе уравнений Навье-Стокса, в кинетической теории газов — уравнения Больцмана. Имеются математические модели для описания задач экономики, социологии, медицины, лингвистики.

Для решения математических задач используются следующие основные группы методов: аналитиче­ские, графические и численные. Основная идея графических методов состоит в том, что решение находится путем геометрических построений.

При использовании аналитических методов решение задачи удается выразить с помощью формул. К сожале­нию, на практике это слишком редкие случаи.

Основным инструментом для решения сложных математических задач

в настоящее время являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действийнад числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений.

Численный метод наряду с возможностью получения результата за приемлемое время должен обладать и еще одним важным качеством не вносить в вычислительный процесс значительных погрешностей.

Точность вычислительного эксперимента.