Построение математической модели

Пример 1

Пример на составление математической модели задачи линейного программирования

Линейное программирование

Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием. Линейное программирование состоит в нахождении экстремального значения линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, связывающих эти переменные.

Необходимым условием постановки задачи линейного программирования являются ограничения на наличие ресурсов, величину спроса, производственную мощность предприятия и другие производственные факторы.

Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя:

· максимум или минимум целевой функции (критерий оптимальности);

· систему ограничений в форме линейных уравнений и неравенств;

· требование неотрицательности переменных.

Фирма производит две модели А и В сборных книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок) и временем машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 3 м² досок, а для модели В – 4 м². Фирма может получать от своих поставщиков до 1700 м² досок в неделю. Для каждого изделия модели А требуется 12 мин. машинного времени, а для изделия модели В – 30 мин. В неделю можно использовать 160 часов машинного времени.

Сколько изделий каждой модели следует выпускать фирме в неделю для максимальной прибыли, если каждое изделие модели А приносит 2 дол. прибыли, а каждое изделие модели В – 4 дол. прибыли?

Пусть x₁ – количество выпущенных за неделю полок модели А, а x₂ – количество выпущенных полок модели В. Тогда:

3x₁ – количество досок, требуемых на неделю для изготовления полок модели А;

4x₂ – количество досок, требуемых на неделю для изготовления полок модели В;

3x₁+4x₂ – количество досок, требуемых на неделю для изготовления книжных полок двух моделей, а по условию задачи это число не должно превышать 1700 м², следовательно, получаем первое ограничение:

3x₁+4x₂ ≤ 1700 (1)

Найдем ограничение на использование машинного времени.

12 мин. составляют 0,2 часа, а 30 мин. – 0,5 часа, таким образом:

0,2x₁ – количество времени, требуемое на неделю для обработки полок модели А;

0,5x₂ – количество времени, требуемое на неделю для обработки полок модели В;

0,2x₁+0,5x₂ – количество времени, требуемое на неделю для обработки двух моделей, а по условию задачи это число не должно превышать 160 часов, следовательно, получаем второе ограничение:

0,2x₁+0,5x₂ ≤ 160 или 2x₁+5x₂ ≤ 1600 (2)

Кроме того, поскольку x₁ и x₂ выражают еженедельный объем выпускаемых изделий, то они не могут быть отрицательными, то есть:

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 (3)

Наша задача состоит в том, чтобы найти такие значения x₁ и x₂, при которых еженедельная прибыль будет максимальной. Составим выражение для еженедельной прибыли:

2x₁ – еженедельная прибыль, получаемая от продажи полок модели А;

4x₂ – еженедельная прибыль, получаемая от продажи полок модели В;

F = 2x₁+4x₂ – еженедельная прибыль, которая должна быть максимальной. Таким образом, имеем следующую математическую модель для данной задачи.

F = 2x₁+4x₂ → max

Полученная модель является задачей линейного программирования. Функция F – это целевая функция, она является линейной функцией своих переменных (x₁ и x₂). Ограничения на эти переменные (1) и (2) тоже являются линейными. Выполнено условие неотрицательности для переменных x₁ и x₂.

Необходимо найти значения переменных x₁ и x₂, при которых данная функция F принимает максимальное значение, при соблюдении ограничений, накладываемых на эти переменные.

Решения, удовлетворяющие системе ограничений и требованию неотрицательности, являются допустимыми, а решения, удовлетворяющие одновременно и требованием минимизации (максимизации) функции в целом являются оптимальными.

3.1.4. Выводы по теме 1. Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием. Линейное программирование состоит в нахождении экстремального значения линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, связывающих эти переменные. 2. Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя: · максимум или минимум целевой функции (критерий оптимальности); · систему ограничений в форме линейных уравнений и неравенств; · требование неотрицательности переменных. 3. F=2x1+4x2 → max Полученная модель является задачей линейного программирования. Функция F – это целевая функция, она является линейной функцией своих переменных (x1 и x2). Ограничения на эти переменные (1) и (2) тоже являются линейными. Выполнено условие неотрицательности для переменных x1 и x2. Необходимо найти значения переменных x1 и x2, при которых данная функция F принимает максимальное значение, при соблюдении ограничений, накладываемых на эти переменные. 4. Решения, удовлетворяющие системе ограничений и требованию неотрицательности, являются допустимыми, а решения, удовлетворяющие одновременно и требованию минимизации (максимизации) функции в целом являются оптимальными.