Преобразование сигналов оптическими системами

Сигналы

Основные понятия теории сигналов

Прежде всего, следует дать определение такому понятию, как сигнал. В зависимости от контекста оно может принимать различные значения. В общем случае сигнал – это изменение некоторой физической величины. В зависимости от области определения говорят о временной, частотной или пространственной форме представления сигнала.

Сигналы чаще всего рассматривают как функцию, заданную в некоторых физических координатах. По этому критерию можно выделить одномерные сигналы (зависящие, например, от времени), двумерные сигналы, заданные на плоскости (например, изображение) и трехмерные сигналы (описывающие, например, пространственные объекты). Математической моделью сигнала чаще всего являются скалярные функции. Но в ряде случаев приходится использовать более сложные модели. Например, для описания электромагнитного поля удобно использовать комплексные функции, а для цветных изображений– трехкомпонентные векторные функции.

Если область определения сигнала непрерывна, то он называется непрерывным или аналоговым. Название "аналоговый" непрерывным сигналам дано потому, что они являются "аналогами" реальных физических процессов, происходящих в действительности. Такой сигнал и его аргументы могут принимать любые значения. Примером аналогового сигнала является изменение напряжения. Сигнал, аргументы которого принимают счетное множество значений, называется дискретным. Примером дискретного сигнала может служить совокупность значений напряжения, измеряемых с некоторым интервалом. В этом случае сигнал определен лишь в дискретные, то есть отдельные моменты времени. Если же сам сигнал принимает счетное множество значений, то он называется квантованным. Цифровыми называются дискретные квантованные сигналы.

Сигналы в оптических системах претерпевают разнообразные преобразования. Для математического описания этих преобразований в общем случае необходимо задать все возможные пары входных и выходных сигналов. Однако объем такого описания настолько велик, что фактически исключает возможность его практического использования. Поэтому модели оптических систем и описания преобразования сигналов в них строятся по иерархическому принципу. При этом преобразование сигналов представляются как совокупность некоторых элементарных преобразований. Оптический прибор при этом рассматривается как каскад преобразователей информации, а оптическая система является линейным фильтром сигнала.

Каждый изображающий прибор принимает информацию от предыдущего элемента каскада и передает последующему. Входной сигнал называют предметом, а выходной– изображением. При построении модели абстрагируемся от конкретного физического содержания предмета и изображения и будем рассматривать их как некоторые обобщенные сигналы или функции и обобщенных интенсивностей от векторов обобщенных координат и .

Задачей изображающего прибора является преобразование входного сигнала– функции предмета в выходной сигнал– функцию изображения . Модель оптического прибора, описывающая общие закономерности формирования изображения в оптических системах, не связанные с физическими принципами их работы (внешняя функциональная модель), есть оператор , осуществляющий преобразование:

или .

В теории изображения предполагается, во-первых, что этот оператор должен удовлетворять условию линейности. Линейные преобразования – это преобразования, для которых выполняется принцип суперпозиции. Математически это записывается следующим образом: преобразование является линейным, если для любых сигналов заданных в линейном пространстве, и скаляров справедливо:

.

В соответствии с этим выражением, изображение суммы равно сумме изображений.

Система, осуществляющая линейные преобразования, называется линейной. Для таких систем наиболее распространенным является описание с помощью импульсной реакции, определяемой как отклик оператора на дельта-функцию:

.

В теории оптических изображающих систем эта импульсная функция называется функцией рассеяния точки (ФРТ) , и представляет собой изображение (пятно рассеяния) светящейся точки единичной энергии.

Во-вторых, для изображающего оператора должно выполняться условие изопланатичности или пространственной инвариантности (инвариантности к сдвигу):

.

В соответствии с этим выражением, при смещении предмета на вектор изображение только смещается на вектор , причем пропорционален , а именно: , где – матрица обобщенных увеличений.