Замечание. Отрицание для кванторов.

Виды связок.

П. 2. Логические связки (логические операции или пропозициональные связки).

Пример 2.

Пример 1.

Кванторы.

Определение 7. Кванторы – логические символы или специальные обозначения для некоторых часто встречающихся выражений.

Например: 1) Квантор общности – – любой, каков бы ни был.

– для всех x истинно (или выполнимо) свойство p(x).

2) Квантор существования – – существует.

– найдутся (или существуют) x, обладающие свойством p(x).

Дано высказывание: «Утверждение, что множество А есть часть множества В, означает, что все элементы из А являются элементами из В». Записать посредством кванторов.

Решение. .

Дано высказывание: «Утверждение, что множество А не есть часть множества В, равносильно следующему: существует такой элемент из А, что он не принадлежит В». Записать посредством кванторов.

Решение. .

Замечание. В основе математической логики лежит логика высказываний, в которой высказывания изучаются с помощью особого буквенного исчисления, называемого алгеброй логики.

Определение 8. Алгебра логики – раздел математической логики, который изучает общие свойства выражений, составленных из высказываний с помощью логических операций.

Будем рассматривать только истинностно-функциональные комбинации высказываний, т.е. в которых истинность или ложность новых высказываний определяется истинностью или ложностью составляющих высказываний.

Определение 9. Логические связки – функциональные или логические операции над высказываниями.

1) – отрицание.

А, А – «не А». Другое обозначение: – «не А».

Рассмотрим утверждение: Для всех x существует y, такой, что для любых z и h выполняется свойство p(x, y, z, h). Запишем его посредством кванторов:

.

Правило для отрицания: меняем квантор на противоположный, а последнее утверждение заменяем отрицанием.

В рассмотренном примере получаем:

.

2) (другое обозначение & ) – «и» – конъюнкция.

или А & В – «А и В».

Определение 10.Конъюнкт или конъюнкция двух переменных – выражение вида или их отрицание: , .

Пример. Высказывание «Диагонали любого ромба перпендикулярны и делят углы при вершинах ромба пополам» – является конъюнкцией. Это сложное высказывание, состоящее из двух простых, связанных союзом «и». Оба истинны, следовательно, истинным является и сложное высказывание, которое есть конъюнкция двух высказываний.

3)– «или» – дизъюнкция.

– «А или В», хотя бы один из них.

Определение 11.Дизъюнкт или дизъюнкция двух переменных – выражение вида или их отрицание: , .

Пример. Высказывание «Завтра на уроке математики будет контрольная или проверочная работа» – дизъюнкция, состоящая из двух высказываний: 1) «Завтра на уроке математики будет контрольная» и 2) «Завтра на уроке математики будет проверочная работа», связанных союзом «или».

Определение 12.Дизъюнктивная нормальная форма – это дизъюнкция нескольких конъюнктов.

Например: – А и В находятся в дизъюнктивной нормальной форме.

Определение 12^/.Конъюнктивная нормальная форма – это конъюнкция нескольких дизъюнктов.

Например: – А и В находятся в конъюнктивной нормальной форме.

4)(другое обозначение ) – «если одно, то и другое» – импликация.

– «если А, то и В».

5)(другие обозначения , ~ ) – «тогда и только тогда, когда» – эквивалентность или эквиваленция.

– « А тогда и только тогда, когда В»