Аk — постоянные интегрирования.

Классический метод анализа переходных процессов

Методы анализа переходных процессов.

Сущность классического метода анализа переходных процессов составляет решение интегрально-дифференциальных уравнений, составленных относительно тока через индуктивность или напряжения на емкости. Уравнения составляются для цепи, сложившейся в результате коммутации.

Метод интеграла свертки используется в случае, когда на линейную цепь действует сигнал сложной формы. Методоснован на принципе наложения. Этот принцип позволяет искать общее решение линейных уравнений как линейную комбинацию, т.е. наложение более простых частных решений. В применении к цепям он формулируется так: реакция цепи на сумму воздействий равна сумме ее реакций на каждое из воздействий в отдельности.

В основе операторного метода анализа переходных процессов лежит преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в область комплексного переменного p:

При этом операции интегрирования и дифференцирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функций комплексного переменного на оператор p, что существенно упрощает расчет, так как сводит систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений.

При анализе переходных процессов в электрических цепях классическим методом составляется система уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. При этом используются соотношения между токами и напряжениями в элементах цепи:

(1)

В полученной таким образом системе уравнений выбирается основная переменная и исключением других переменных из системы уравнений получают линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, имеющее в общем случае вид

(2)

где а_k и b_k — постоянные коэффициенты, зависящие от схемы цепи и параметров ее элементов;

x(t) —выходная величина (ток или напряжение);

f(t) — внешнее воздействие на цепь (источник э.д.с. или тока).

Решение уравнения (2) ищется в виде

x(t)=x_св(t)+x_пр(t) (3)

где x_св(t) - свободная составляющая — общее решение однородного дифференциального уравнения

(4)

т. е. уравнения (2) без правой части;

x_пр(t) — принужденная составляющая — частное решение уравнения (2) с правой частью.

Свободная составляющая x_св(t) определяет свободные электрические процессы, т.е. такие процессы, которые система, выеденная из состояния покоя некоторым воздействием, совершает после того, как воздействие исчезло. Это процесс рассеивания или накапливания энергии энергоемкими элементами L и С, т.е. процесс в цепи после сообщения ей некоторого запаса электромагнитной энергии и предоставления самой себе.

Принужденная составляющая x_пр(t) характеризует процесс, возникающий в цепи под воздействием внешнего возмущения после окончания переходных процессов. Это установившиеся, т.е. постоянные или периодические, токи и напряжения, которые устанавливаются в электрической цепи после окончания переходных процессов при воздействии на цепь постоянных или периодических э.д.с. или токов.

Решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

где р_k — корни характеристического уравнения

a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₁p+a₀=0

Завершающим этапом отыскания решения

является определение постоянных интегрирования А_к. Они могут быть найдены, если хотя бы для одного момента времени t=t₀ известны значения самой функции и ее n-1 производных

Порядок высшей производной дифференциального уравнения определяет порядок цепи. Так, например, если этот порядок будет первым, то и цепь называют цепью первого порядка и т. д.