Точки перегиба
О. Пусть 
непрерывна в точке 
и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда если при переходе через точку меняет направление выпуклости, т.е. 
такое, что на одном из интервалов 
, 
она выпукла вверх, а на другом выпукла вниз, то называется точкой перегиба функции .
Например, для 
– точка перегиба.
Теорема (необходимое условие точки перегиба) Если 
точка перегиба функции и 
в некоторой окрестности 
, непрерывная в точке , то 
.
Доказательство. Допустим, 
. Например, 
. Так как 
непрерывна в точке , то 
. Значит, выпукла вниз в окрестности . Но это противоречит определению точки перегиба. ■
Теорема (достаточное условие точки перегиба) Если непрерывна в точке , имеет 
в точке и при переходе через точку меняет знак, то – точка перегиба функции .
О. Если 
или 
, то прямая 
называется вертикальной асимптотой графика функции .
Например, для функций 
прямая 
–вертикальная асимптота, для функции 
прямые 
являются вертикальными асимптотами.
Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или в граничных точках области определения.
О. Прямая 
называется асимптотой графика функции при 
, если 
.
Если 
, то асимптота называется наклонной.
Если 
, то асимптота 
называется горизонтальной.
Например, для функций 
прямая 
–горизонтальная асимптота, для функции 
прямые 
являются горизонтальными асимптотами.
Теорема Прямая является асимптотойграфика функции при 
тогда, и только тогда, когда существуют и конечны оба предела: 
и 
.
