Плотность распределения

Функция распределения F(x) сама является случайной величиной, распределенной равномерно на отрезке [0,1].

Законы распределения случайных величин

Случайная величина Х может принять каждое из х_i с некоторой вероятностью p_i

P_i=Pr{X=x_i}, i= 1,n

Х – случайная величина, x_i- возможное значение случайной величины.

.

Данная вероятность (суммарная вероятность) как-то распределяется между значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если задано распределение, то есть определён закон распределения – это всякое соотношение, устанавливающее связь между ввозными значениями СВ и соответствующим им вероятностями.

Законы распределения СВ задаются следующими способами:

1. Аналитический – в виде математического выражения, которое будет отображать зависимость вероятности от значения СВ

2. Табличный (в виде таблиц). Тут перечисляются возможные значения СВ и их вероятности.

3. Графический. На оси абцисс – значение СВ, а ординат – значение вероятностей

Поскольку для непрерывной СВ, которая имеет бесчисленное множество значений, каждая из них обычно не обладает никакой отличной от нуля вероятностью, то для её описания удобнее воспользоваться не вероятностью события Pr{X=x_i}, а Pr{X≤x_i}. Вероятность этого события является функцией от переменной Х. Обозначается F(x)и называется Функция распределения случайной величины.

Функцию распределения называют интегральным ЗР. ФР полностью характеризует СВ с вероятностной точки зрения и является одним из способов задания закона распределения. Свойства ФР:

1. Функция распределения – неотрицательная функция F(x)≥0

2. Функция распределения – неубывающая функция (если x₂ x₁, то F(x₂) F(x₁))

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, а на плюс бесконечности - единице, то есть F(- )=0, а F(+ )=1

4. Вероятность попадания случайной величины X в отрезок [x₁, x₂] равна приращению функции распределения на этом отрезке, то есть Pr{x₁ x x₂}=F(x₂)-F(x₁);

27022012 Лекция 4

Для вероятностного описания непрерывных случайных величин помимо функции распределения широко используется понятие функции плотности распределения (закон распределения задаётся в виде плотности f(x)). Плотность распределения называется плотностью вероятности или дифференциальной функцией (законом) распределения.